À propos du raisonnement par récurrence

par **Bastien L.** » 14 Jan 2009, 12:15

Encore une question :-)

À propos du raisonnement par récurrence, il se dit que "des mathématiciens tout-à-fait sérieux" avancent "des arguments tout-à-fait convaincants" contre cette forme de raisonnement.

Certains d'entre vous partagent-ils cette opinion, ou ont-ils connu des gens qui la partagent?

D'avance, merci

par **Timothé Lefebvre** » 14 Jan 2009, 12:27

Salut, Léon avait poster un sujet sur ceci qui avait remporté un grand succès, je te donne le lien : [url="http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=51521&page=1"]ici[/url].

par **Bastien L.** » 14 Jan 2009, 12:38

Bonjour, Thimoté, et merci

Mais cette discussion traitait du raisonnement par l'absure, alors que je parle du raisonnement par récurrence

par **Doraki** » 14 Jan 2009, 14:30

J'ai jamais vu personne qui était contre le raisonnement par récurrence, et je vois mal comment on pourrait l'être...

par **lapras** » 14 Jan 2009, 14:32

Je suis pas contre mais je suis pas pour, ca dépend de la situation :
des fois la récurrence masque le vrai sens d'une propriété, car on se "contente" juste de faire l'étape d'induction et on peut passer à coté d'une chose importante.

par **Kah** » 14 Jan 2009, 14:37

De toute façon, la véracité du raisonnement par récurrence a été prouvée.

par **lapras** » 14 Jan 2009, 14:43

On peut etre contre un raisonnement même si celui-ci est juste.
Exemple : léon est contre le raisonnement par l'absurde alors que celui ci est parfaitement juste.

par **SimonB** » 14 Jan 2009, 17:03

Kah a écrit:De toute façon, la véracité du raisonnement par récurrence a été prouvée.

Euh, pas vraiment...

En fait, la construction de

"classique" (Peano) suppose le raisonnement par récurrence est un axiome !

Refuser le raisonnement par récurrence, c'est donc refuser (dans une certaine mesure...) la construction de Peano. C'est possible, et c'est tout (ou peut-être partie) l'objet du débat entre les intuitionnistes et les formalistes, mais c'est légèrement difficile logiquement parlant (et même au-delà, il faut non seulement comprendre la logique, mais aussi avoir fait un peu d'autres maths pour comprendre les enjeux réels du problème), et je pense que ça dépasse un tant soit peu le niveau terminale.

par **Kah** » 14 Jan 2009, 17:54

SimonB a écrit:et je pense que ça dépasse un tant soit peu le niveau terminale.

Ah... bon au vu de ce que tu as dit, je dirait que sa dépasse énormément le niveau terminale :zen:

par **Bastien L.** » 14 Jan 2009, 22:07

Merci, SimonB :we:

J'essai de me renseigner sur les points que tu abordes.

Petite précision par rapport aux réponses que j'ai lues: il s'agit bien du fait que des mathématiciens réfutent la réalité du raisonnement par récurrence (c'est donc tout-à-fait différent de la discussion sur le raisonnement par l'absurde).

D'autre part, je sais que ça dépasse et le niveau et les enjeux de la terminale Mais, pour le fun, j'aimerais comprendre comment on peut être contre cette forme de raisonnement, qui semble pourtant si naturelle

par **jeancam** » 14 Jan 2009, 23:30

Bastien L. a écrit:Merci, SimonB :we:

J'essai de me renseigner sur les points que tu abordes.

Petite précision par rapport aux réponses que j'ai lues: il s'agit bien du fait que des mathématiciens réfutent la réalité du raisonnement par récurrence (c'est donc tout-à-fait différent de la discussion sur le raisonnement par l'absurde).

D'autre part, je sais que ça dépasse et le niveau et les enjeux de la terminale Mais, pour le fun, j'aimerais comprendre comment on peut être contre cette forme de raisonnement, qui semble pourtant si naturelle

le raisonnement par l'absurde est basé sur le tiers exclus et celui par recurence sur les axiomes de Peano comme cela a ete dit. on a le droit de refuser un axiome ou de l accepter du moment qu on ai pas de contradiction...je crois qu on ne peux parler de veracité qu a l interieur d un systeme d axiome. à l "exterieur" je pense qu on ne doit invoquer que la coherence...

par **mathelot** » 15 Jan 2009, 09:09

sans vouloir écrire trop de bêtises, comme il semble que le nombre
d'atomes de l'univers est fini et pas très grand
disons sûrement inférieur à 10^(10^10),on devrait pouvoir décrire
la Nature, et donc faire des maths, sans axiome de l'infini ?
auquel cas le principe de récurrence tombe à l'eau.

par **abcd22** » 15 Jan 2009, 17:11

Bonjour,

mathelot a écrit: on devrait pouvoir décrire la Nature, et donc faire des maths

Pour décrire la nature il vaut mieux faire de la biologie, géologie, physique, chimie... que des maths.

par **leon1789** » 15 Jan 2009, 19:37

Doraki a écrit:J'ai jamais vu personne qui était contre le raisonnement par récurrence, et je vois mal comment on pourrait l'être...

Je connais des gens qui préfèrent (inconsciemment ?) une preuve par l'absurde rédigée ainsi : soit N le plus entier ne vérifiant pas la propriété, démontrons que N-1 ne la vérifie pas non plus (et ils écrivent l'héridité à >).

par **leon1789** » 15 Jan 2009, 19:38

lapras a écrit:Je suis pas contre mais je suis pas pour, ca dépend de la situation :
des fois la récurrence masque le vrai sens d'une propriété, car on se "contente" juste de faire l'étape d'induction et on peut passer à coté d'une chose importante.

Je suis d'accord avec Lapras.
Mais c'est pas souvent facile de passer d'une récurrence à une preuve directe !! Mais c'est clair qu'on gagne en "profondeur" quand on y arrive.

par **leon1789** » 15 Jan 2009, 19:39

Kah a écrit:De toute façon, la véracité du raisonnement par récurrence a été prouvée.

Ben ça, ça dépend de l'axiomatique à la base, il me semble : soit elle est prouvée par l'absurde (axiomatique moderne), soit elle est axiomatique justement (Péano).

SimonB a écrit:Euh, pas vraiment...

En fait, la construction de "classique" (Peano) suppose le raisonnement par récurrence est un axiome !

Refuser le raisonnement par récurrence, c'est donc refuser (dans une certaine mesure...) la construction de Peano. C'est possible, et c'est tout (ou peut-être partie) l'objet du débat entre les intuitionnistes et les formalistes

Les intuitionnistes l'acceptent. Tu es sûr que les formalistes la refusent ?

par **leon1789** » 15 Jan 2009, 19:41

lapras a écrit:On peut etre contre un raisonnement même si celui-ci est juste.
Exemple : léon est contre le raisonnement par l'absurde alors que celui ci est parfaitement juste.

Exactement, enfin presque : je suis contre se contenter d'un raisonnement par l'absurde comme preuve finale (et d'autant plus si cette preuve est longue).

par **leon1789** » 15 Jan 2009, 19:44

mathelot a écrit:sans vouloir écrire trop de bêtises, comme il semble que le nombre
d'atomes de l'univers est fini et pas très grand
disons sûrement inférieur à 10^(10^10) ,

un petit 10^80 devrait suffire :zen:

mathelot a écrit:on devrait pouvoir décrire la Nature, et donc faire des maths, sans axiome de l'infini ? auquel cas le principe de récurrence tombe à l'eau.

Oui ok, pourquoi pas.

Mais l'infini, c'est quand même quelque chose de pratique pour faire naitre des objets "idéaux".

par **Bastien L.** » 15 Jan 2009, 20:27

Bonsoir!

Par parenthèse, les maths ne sont pas une science de la nature, d'ailleurs, pensez-vous qu'ils soient une science?

En gros, vous m'expliquez que l'existance de ce principe repose sur des axiomes concernant

selon lesquels il possède un nombre infini d'éléments, dont le premier est 0, et chacun de ces éléments possède un suivant, et est lui-même - hormis 0 - le suivant d'un autre, de sorte que chacun de ces éléments entretient avec son suivant une relation du même genre - problème: je ne saurais être plus précis sur ce point - que celui dont il est le suivant entretient avec lui?

Si c'est bien cela, alors, quelles sont les autres "visions" de

, qui sont censées ne pas permettre de construire un principe de récurrence?

À propos du raisonnement par récurrence

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