A propos des variétés abéliennes

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
L.A.
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A propos des variétés abéliennes

par L.A. » 19 Oct 2014, 20:51

Bonjour à tous,

J'ouvre une discussion sur des objets que je trouve de plus en plus intéressants à mesure que je les fréquente.

1) Est-ce que deux points distincts d'une même variété abélienne sont toujours inclus dans une même sous-variété abélienne de dimension 1 (courbe elliptique) ?
2) On sait que la droite projective P^1 n'est pas une variété abélienne (courbe elliptique) puisque elle est de genre 0 et pas 1. Est-ce qu'on a un argument similaire pour P^2, P^3, etc... ?
3) Est-ce qu'on a des exemples simples de variété abélienne de dimension 2, 3 etc... (équations) ?

Merci.



lapras
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par lapras » 27 Oct 2014, 02:54

3) Oui : un produit de courbes elliptiques.
Sinon les exemples les plus intéressants sont obtenus en prenant la Jacobienne d'une courbe (exemple : les courbes modulaires). Une forme modulaire donne naissance à une variété abélienne avec beaucoup d'endomorphismes (les opérateurs de Hecke).
Cette variété est une courbe elliptique si la forme modulaire est à coefficients rationnels.

L.A.
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par L.A. » 27 Oct 2014, 16:28

lapras a écrit:3) Oui : un produit de courbes elliptiques.


Merci bien... bon j'aurais du préciser "qui ne soit pas un produit de vab de dimensions inférieures" :zen:
Je ne connais quasiment rien concernant les formes modulaires (j'y jetterai un oeil quand j'aurai le temps). Concernant les vab avec "beaucoup d'endomorphismes", je suppose que c'est le même principe que les courbes elliptiques dites à multiplication complexe ?
Pour les jacobiennes, ce sont des objets théoriques avant tout... est-ce qu'on aurait un exemple en équations (du type équation de Weierstrass pour les courbes elliptiques) ?

Doraki
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par Doraki » 28 Oct 2014, 17:41

1) Non et c'est même rare qu'une variété abélienne "contienne" une variété de dimension plus petite (qu'un réseau de C^n contienne un sous-réseau qui soit inclus dans un sev complexe de dimension plus petite)

L.A.
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par L.A. » 28 Oct 2014, 19:12

Doraki a écrit:1) Non et c'est même rare qu'une variété abélienne "contienne" une variété de dimension plus petite


Est-ce que tu peux préciser un peu ? Je me doute que ce ne sont pas toutes les variétés abéliennes qui vont vérifier la propriété 1) sur les courbes, que ça sera même probablement rare, si jamais ça existe, mais en général il existe des sous-variétés abéliennes (pour moi, des sous-schémas en groupes fermés irréductibles). Ton argument est un peu trop fort, est-ce que tu ne confondrais pas sous-réseau et sous-groupe "saturé" ?

Doraki
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par Doraki » 28 Oct 2014, 20:09

Mon argument est pour les truc du style C^n / ;) et donc a fortiori pour les variétés abéliennes complexes (je sais pas pour les autres)

Si tu prends un réseau ;) au hasard de C^n et un sev V de dimension k, tu n'auras quasiment jamais que ;) inter V est un réseau de V.
De plus même si tu prends k éléments (x1...xk) (indépendants sur C) de ;) et que tu prends V = Vect_C(x1...xk), tu n'auras quasiment jamais que ;) inter V est un réseau de V, tu n'as aucune garantie à ce que tu trouves des x(k+1) ... x(2k) dans le C-span des x1...xk

Il y a des variétés abéliennes qui n'ont aucune sous-variété abélienne non triviale et c'est même le cas générique.

L.A.
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par L.A. » 28 Oct 2014, 23:10

Ah bon... ça me surprend. Moi je travaille plutôt sur les corps de nombres ou sur la clôture algébrique de Q, justement je ne maîtrise pas encore bien les choses, mais visiblement la situation est très différente. Mais bon après tout on sait que pour les courbes elliptiques, le cas complexe est très simple (tores complexes uniquement) par rapport aux autres corps... :hein:

Doraki
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par Doraki » 29 Oct 2014, 01:00

Ben si je ne m'abuse j'ai déjà vu (je crois) une jacobienne d'une courbe modulaire qui était comme ça et même sur Q ou n'importe quoi qui reste "inclus" dans C ça devrait être presque toujours le cas, c'est pas en faisant une extension des scalaires vers C que ça peut faire disparaître les sous-variétés abéliennes. Donc si y'en a pas sur C il ne pouvait pas y en avoir sur Q ni sur un corps de nombres ...

Après sur Qp ou la cloture algébrique de Fp, j'y ai pas réfléchi.

lapras
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par lapras » 29 Oct 2014, 01:12

Juste pour rappeler un théorème connu sur un corps k : toute variété abélienne est semi-simple (à isogénie près) , i.e. produit de variété abéliennes irréductibles (qui ne possèdent pas de sous-variétés abéliennes).
Je ne sais pas si on peut dire que "génériquement" une variété abélienne est irréductible. Par exemple pour les jacobiennes des courbes modulaires, ce n'est quasiment jamais le cas puisque qu'il y a beaucoup de formes modulaires propres pour les opérateurs de Hecke en général.

L.A.
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par L.A. » 29 Oct 2014, 02:00

Doraki a écrit:c'est pas en faisant une extension des scalaires vers C que ça peut faire disparaître les sous-variétés abéliennes. Donc si y'en a pas sur C il ne pouvait pas y en avoir sur Q ni sur un corps de nombres ...


Effectivement... mais d'un autre côté, on a des énoncés du type conjecture de Lang (prouvée par Faltings depuis, donc qui n'a plus de conjecture que le nom, voir ici bas de la page 10 par exemple) qui reposent sur des décompositions en sous-variétés abéliennes. Donc soit tout est trivial et Lang peut aller se rhabiller, soit il y a une "nouille dans le bénitier".

Doraki
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par Doraki » 29 Oct 2014, 12:22

Aussi j'ai oublié de dire que les variétés abéliennes sont tout aussi rares parmi les C^n / ;), donc que ptetre que ça influe sur la rareté des sous-variétés abéliennes mais ça m'étonnerait.

J'ai lu ton lien L.A., je sais pas comment se prouve le théorème mais je vois pas en quoi ça le rend inutile ou inintéressant, au contraire.

Dans une variété abélienne il y a plein de sous-variétés (qui ne sont pas des variétés abéliennes), et donc dans le cas des courbes, elles ont plein de point ou bien lorsqu'elles ressemblent à P1 ou bien lorsqu'elles sont le translaté d'une sous-variété abélienne de dimension 1. Et comme il y en a rarement ben c'est un résultat très fort.

L.A.
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par L.A. » 29 Oct 2014, 13:45

Doraki a écrit:Aussi j'ai oublié de dire que les variétés abéliennes sont tout aussi rares parmi les C^n / ;), donc que ptetre que ça influe sur la rareté des sous-variétés abéliennes mais ça m'étonnerait.


Tu veux dire que les s réseaux de qui donnent des variétés abéliennes (c'est-à-dire où on a possibilité de plonger dans un espace projectif) sont rares, c'est ça ? Peut-être, je me rends pas vraiment compte...

La preuve de la conjecture de Lang est pas vraiment triviale (en tout cas c'est plus ou moins le sujet de ma thèse donc...) Pour le cas des courbes, elle implique directement la conjecture de Mordell, ce qui est déjà un résultat fort. J'imaginais que ça devenait moins un peu moins fort en dimension plus grande, mais à ce que tu dis ça l'est toujours autant...

L.A.
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par L.A. » 05 Nov 2014, 23:49

Bonjour :zen:

si ça vous intéresse, j'ai lu une réponse à ma question 2) (référence : Cornell et Silverman, Arithmetic Geometry) : les seuls morphismes (rationnels) de P^1 dans une variété abélienne sont constants, donc comme P^2, P^3, etc... contiennent des avatars de P^1 ils ne peuvent pas en être.

 

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