Produit scalaire et hauteur

[miteb222]

Bonjour à tous,

J'aimerais être éclairci sur cette exercice, je n'arrive vraiment pas à calculer k alors que j'ai quand même pas mal cherché.


Merci et bon courage pour le confinement

[LB2]

Bonjour,

tu peux calculer le produit scalaire vec(CH) scalaire vec(CB) en décomposant par la relation de Chasles :

vec(CH) = vec(CA) + vec(AH)

Et ainsi en déduire la valeur de k.

[miteb222]

Merci!
mais comment faire pour calculer la somme de deux vecteurs sans leurs coordonnées?
Je n'y arrive toujours pas

[LB2]

Effectivement, si tu ne connais pas l'angle en C, cela ne résoud pas le problème.

En fait ici, pas besoin de produit scalaire mais juste de géométrie de collège.
Ici, on remarque que ABC est isocèle en A, et on utilise :

Propriété : Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal (A) est également la médiane issue de ce sommet, la médiatrice du côté opposé (BC).

Donc directement k = 1/2.


Si tu veux absolument raisonner dans un repère, tu peux utiliser le repère de centre A et de vecteurs directeurs vec(AB) et vec(AC), par exemple.

[annick]

Bonjour,

si l'on raisonne avec les produits scalaires :

CA>.CB>=(1/2)(CA²+CB²-AB²)=(1/2)(36+64-36)=32 (d'après la loi des cosinus, voir cours)

CA>.CB>=CH.CB=32 (En utilisant le projeté orthogonal, voir cours)

Donc CH=32/8=4 soit CH=(1/2)CB

Lorsque j'écris CA>, cela veut dire vecteur CA

[LB2]

Merci pour cette démonstration, je tournais autour sans la trouver!
La première relation (écrire le produit scalaire comme différence en utilisant l'identité de polarisation) est la clé de ce raisonnement.

En effet, une fois que l'on connait la valeur du produit scalaire vec(CA) vec(CB) = 32, en utilisant la définition du produit scalaire on a le cosinus de l'angle en C qui vaut 32/48.
Mais par trigonométrie dans le triangle rectangle ACH, on a aussi ce cosinus qui vaut 8k/6.
Donc k = 1/2.

(la deuxième partie du raisonnement est juste une reformulation sans produit scalaire de ce qu'a fait annick)

[miteb222]

Bonjour et merci à tous.

J'ai réussi à calculer avec Al-Kashi en faisant:

et j'ai trouvé:

ce qui donne:

soit,
Mais quand je calcule dans le triangle ACH en faisant:
, je trouve que mais je n'arrive pas à faire "apparaitre" k dans mon affaire.

[annick]

Si CH=4 et CB=8, CH/CB=k, que vaut k ?

[miteb222]

ah oui 1/2 en effet
merci beaucoup!