Problème d'extrêmisation

[Mathusalem]

Bonjour,

Dans le cadre de la solution à un exercice de mécanique analytique, je me vois confronté au problème suivant :

Soit une courbe commençant en P(1,0) et finissant Q(cosh(2),2). Quelle est la courbe qui minimise l'aire de la surface de révolution qu'elle engendre par rotation autour de l'axe y ?

Il s'agit d'un problème d'extrêmalisation de la fonctionnelle



Puisque y n'apparaît pas explicitement, la quantité est constante.

On trouve vite que

est une fonction possible, où c et b sont des constantes d'intégration à déterminer grâce aux conditions initiales. Dans ce cas, pour ces conditions initiales, le minimum global est atteint par la fonction

C'est à partir de là que survient mon problème

On déplace le point P tel que . En clair, on le déplace vers la gauche sur l'axe des x.

La solution du problème ne dépend pas de ces conditions initiales, et on trouve donc denouveau le même x(y). Cependant, il faut résoudre le système suivant pour déterminer b et c.




Or, pour , le système n'admet plus de solutions. Cependant, on s'attend à ce que la courbe qui part par exemple de P(0,0) existe. Qu'en pensez-vous ?

[Black Jack]

Es-tu bien sûr que ton système (en fin de message) a des solutions pour une autre valeur que 0 pour epsilon ?

Du système, je trouve :

b = -c.argch((1-€)/c)
b = 2 - c *argch[(cosh(2)/c)]

-c.argch((1-€)/c) = 2 - c * argch[(cosh(2)/c)]

f(c) = 2 + c*[argch((1-€)/c) - argch((cosh(2)/c))]

La seule solution de f(c) = 0 est uniquement c = 1 pour € = 0

Par exemple, avec € = 0,1, f(c) = 2 + c*[argch(0,9/c) - argch((cosh(2)/c))]

Et le graphe de f(c) ne recoupe pas l'axe des abscisses --> f(c) = 0 n'a pas de solution.

Pareil pour toutes valeurs de € dans [0 ; 1[.
*****

Je n'ai pas vérifié si ce qui suit correspond à un min pour l'aire :

y = 2.argch(x+€)/argch(ch(2)+€)

ou ce qui revient au même : x(y) = ch[(y.argch(ch(2) + €)/2] - €

Cette solution rejoint ta proposition pour €=0 ... mais reste valable pour tout € dans ]0 ; 1].

Mais reste à voir si cela correspond ou non à un min de A.

:zen: