Problème de calcul de CPA (Closest Point of Approach)

[P4B]

Bonjour, je vous contacte car j'aimerais vous faire part d'un problème sur lequel je bute et j'espère que vous pourrez m'aider.
Mon problème, comme écrit dans le titre, concerne le calcul de CPA, ou plus précisément du HMD (Horizontal Minimal Distance si je me souviens bien) entre deux vols.
J'ai cherché si un sujet existait à ce propos dans ce forum mais je n'ai rien trouvé ; sur d'autres sites j'ai trouvé quelques indices mais pas assez pour résoudre mon problème.

Donc d'abord les hypothèse de base :
- On se concentre sur le plan horizontal (évidement).
- Les deux vols ont une vitesse constante.
- Leurs plan de vols sont simplifié à une suite de segments.
- Les heures de passage des points entre chaque segments sont coordonnées entre les deux vols (Donc quand on étudie les segments deux à deux, ils commencent et se termine à la même heure).

On étudie les segments des plans de vols les uns après les autres, donc le but c'est de calculer le HDM de chaque portions de plan de vol.

Je créé donc les deux systèmes d'équations suivant représentant l'évolution de chaque vol en fonction du temps (sur un segment) :
Pour le vol 1


Pour le vol 2



L'équation de la variation de distance entre les deux vols en fonctions du temps est donc :



ce qui donne la racine d'une équation du second degré
avec :




Je cherche le minimum de cette fonction donc j'étudie le point t=0 de la dérivé D'.
donc
et je trouve

Donc j'ai la valeur minimum et maintenant je veux l'heure à laquelle cette distance est atteinte, j'évalue donc l'équation : qui me donne une équation du second degré :
<=>
Vu les conditions du début, pour moi cette équation n'a forcement qu'une solution.
Je ne peux pas le vérifier car le delta vaut :
Donc je calcul l'unique solution :

Bon, je n'ai pas mis les étapes de calcul, je suis désolé, mais je pense que déjà il doit y avoir une erreur dans ces étapes car quand j'essaye un cas simple :
Le vol 1 va du point A au point B et le vol 2 du C au D.
<= {x, y, t}




J'attend d'avoir une distance de 0 pour t = 5 mais rien de ça, à la place j'ai une distance de 2 pour t = 1.5.

Je pense que ce sont mes systèmes d'équations de base qui ne vont pas et j'ai essayé de changer pour ces systèmes :
Pour le vol 1


Pour le vol 2



Mais je n'arrive pas à simplifier l'équation D(t) plus simplement que :

mais je suis même pas sur que ce soit les bons systèmes d'équations.

Un pavé qui je l'espère n'est pas trop indigeste. Si vous avez besoin que je justifie certain résultats par les étapes de calcul, je vous les fournirais sans problème, mais je pense avoir les bon résultats car je les ai refait plusieurs fois pour m'en assurer (mais l'erreur est toujours possible).
J'espère que vous aurez la patiente et le courage de me lire et de m'aider. Sinon je vous remercie quand même de votre intérêt pour mon problème.
Bonne journée, soirée.

Cordialement

P4B

[danyL]

bsr
avec un dessin ce serait mieux
le pb n'est pas très clair, et ce que représentent X et Y non plus
les 2 avions volent dans le même plan horizontal, c'est à dire à la même altitude ?
ils vont dans la même direction ?

X1 et Y1 représentent des coordonnées ? dans quel repère ?

[P4B]

Bonsoir, bien sûr, vous avez raison cela manque de précision.
Les deux vols sont dans le plan horizontal, on ne se préoccupe pas du plan vertical.
Ils ne vont pas du tout dans la même direction comme indiqué dans l'exemple explicatif (la photo).

Et concernant X1(t) et Y1(t), ce n'est pas très clair pour moi d'un point de vue mathématique, mais je dirais qu'il s'agit de la fonction représentant un segment du plan de vol. Sur lequel on recherche notre minimum.

Pour plus de comprehension, le schéma que j'ai mis en PJ représente ce que j'ai et ce que je cherche.
En vert et en rouge les plans de vols réduit à une suite de segments.
En pointillé noir, l'interpolation d'un point du plan d'un vol sur l'autre.
Je compare deux à deux, chaque portions de plan de vol l'une après l'autre, et pour chacune j'utilise les équations X1 Y1 et X2 Y2 pour trouver mon minimum (Le pointillé noir entouré).
En dessous, je l'espère, une représentation correcte de ma fonction D.

J'espere que ces précisions vous conviendrons.

Bonne soirée

P4B

[danyL]

s'ils ne vont pas dans la meme direction alors cette direction doit apparaitre dans l'équation, pas seulement la valeur de vitesse et le point de départ
on peut utiliser un vecteur vitesse, qui a une direction et une norme, et le décomposer en vitesse suivant l'axe des x (Vx) et vitesse suivant l'axe des y (Vy)



si on reprend les notations le vol 1 part du point A, le vol 2 part du point C :
à t=0 :
x1 = xA et y1 = yA
x2 = xC et y2 = yC

à t :
x1 = xA + V1x * t
y1 = yA + V1y * t

x2 = xC + V2x * t
y2 = yC + V2y * t

vol horizontal.jpg (28.87 Kio) Vu 584 fois

[aviateur]

Bonsoir
Je ne sais pas si dans l'exemple, l'aviateur du deuxième avion est un as des as, il vol en piqué. En effet sa trajectoire est verticale et ce cas de figure n'entre pas dans ton problème général.
Pas étonnant que tu trouves quelque chose qui ne va pas !!

Signé @aviateur

[P4B]

Très bien, je regarde ce que ça donne et je vous fait un retour.
Merci de votre aide.