J'ai un problème avec l'exponentielle

[kubrick73]

Je connais très bien la fonction exponentielle mais je me posais des questions de base sur ses propriétés. Je n'arrive pas à démontrer que exp(r)=e^r pour tout nombre r rationnel. Je pars seulement de exp(a+b)=exp(a)*exp(b) et exp(0)=1, facilement démontrables à partir de exp'(x)=exp(x). J'y arrive très bien pour les entiers relatifs mais pas moyen de trouver une démo pour les rationnels. Pourriez-vous m'aider?
Merci d'avance :we:

[Monsieur23]

Aloha,

Si tu as ta fraction p/q, tu peux calculer Exp(q*(p/q)).

[kubrick73]

Aloha,

Si tu as ta fraction p/q, tu peux calculer Exp(q*(p/q)).

Justement je bloque à cette étape, comment montrer que exp(p/q)=e^(p/q)?

[Monsieur23]

Justement je bloque à cette étape, comment montrer que exp(p/q)=e^(p/q)?

Tu as Exp(q*(p/q)) = Exp(p) = Exp(p/q + ... + p/q). Et tu connais l'exp d'une somme

[kubrick73]

Tu as Exp(q*(p/q)) = Exp(p) = Exp(p/q + ... + p/q). Et tu connais l'exp d'une somme

Donc là j'aurais démontré que Exp(p)=(Exp(p/q))^q c'est ça? Et ensuite?

[Monsieur23]

Ensuite tu sais que Exp(p) = e^p (p est un entier).

D'où (comme tout est positif), Exp(p/q) = e^(p/q)

[kubrick73]

Ensuite tu sais que Exp(p) = e^p (p est un entier).

D'où (comme tout est positif), Exp(p/q) = e^(p/q)

Je suis d'accord avec (Exp(p/q))^q =e^p mais comment tu me prouves que ((Exp(p/q))^q)^(1/q)=(Exp(p/q))?

[Monsieur23]

On sait que (x^a)^b = x^(a*b) pour tous x, a, b.

[Luc]

Je connais très bien la fonction exponentielle mais je me posais des questions de base sur ses propriétés. Je n'arrive pas à démontrer que exp(r)=e^r pour tout nombre r rationnel. Je pars seulement de exp(a+b)=exp(a)*exp(b) et exp(0)=1, facilement démontrables à partir de exp'(x)=exp(x). J'y arrive très bien pour les entiers relatifs mais pas moyen de trouver une démo pour les rationnels. Pourriez-vous m'aider?
Merci d'avance :we:

Bonjour,

Dans quel ensemble sont les nombres a et b dans la propriété? Entiers ou réels?
Si tu la supposes vraie pour tous réels a et b, alors il est facile de montrer par récurrence que pour tout réel a et tout entier n, exp(n*a)=exp(a)^n, ce qui te suffit pour conclure grâce à l'indication de Monsieur23.

Luc

[Luc]

Je connais très bien la fonction exponentielle mais je me posais des questions de base sur ses propriétés. Je n'arrive pas à démontrer que exp(r)=e^r pour tout nombre r rationnel. Je pars seulement de exp(a+b)=exp(a)*exp(b) et exp(0)=1, facilement démontrables à partir de exp'(x)=exp(x). J'y arrive très bien pour les entiers relatifs mais pas moyen de trouver une démo pour les rationnels. Pourriez-vous m'aider?
Merci d'avance :we:

Au passage, exp(0)=1 ne se démontre pas à partir de exp'(x)=exp(x), c'est une propriété imposée. (Pense à la famille des translatés, x->exp(x-t) pour t une constante réelle, qui vérifient toute l'équa diff y'=y mais pas la condition initiale)

[kubrick73]

On sait que (x^a)^b = x^(a*b) pour tous x, a, b.

Et comment "on sait"?
Je sais je suis chiant mais c'est un problème que je me pose depuis des jours ^^

[Nicolas.L]

Bonjour,

Dans quel ensemble sont les nombres a et b dans la propriété? Entiers ou réels?
Si tu la supposes vraie pour tous réels a et b, alors il est facile de montrer par récurrence que pour tout réel a et tout entier n, exp(n*a)=exp(a)^n, ce qui te suffit pour conclure grâce à l'indication de Monsieur23.

Luc

Ma question est un peu HS mais, si n'est pas dans , peut-on définir autrement que par ?

[Luc]

Ma question est un peu HS mais, si n'est pas dans , peut-on définir autrement que par ?

Je ne pense pas, puisque la définition d'une puissance b-ième comme "multiplier (ou diviser) b fois" ne fonctionne qu'avec b entier.

[Moicoucou]

A effacer merçi

[Monsieur23]

Et comment "on sait"?
Je sais je suis chiant mais c'est un problème que je me pose depuis des jours ^^

Effectivement, on tourne en rond.

On est donc à Exp(p/q)^q = e^p

De là, tu peux prendre la racine q-ième : (c'est une notation.

En particulier, pour p=1,

Ensuite, (il suffit de faire une récurrence sur p pour montrer que (x^a)^p = x^(ap))