Un problème d'angles

[Pafapafadidel]

Bonjour,

Voilà un petit problème de géométrie élémentaire plus ardu qu'il n'y paraît au premier abord:

Soit A B C D des points dans le plan tels que:

BAD=60

ABC=50

ACB=50

ADB=40

Ces valeurs étant la mesure des angles en degrés. Question: quelles sont les mesures de BCD et ADC?

[Cliffe]

BCD = 80 ?
ADC = 30 ?

[mathafou]

Bonjour,

BCD = 80 ?
ADC = 30 ?

la question n'est pas de les mesurer ou d'en calculer une valeur à la calculette (ou avec Geogebra), valeur forcément approchée mais de le prouver.


soit E le point de (BD) avec angle CAE = 60°
BAE isocèle (angles)
BAC isocèle (angles)
donc AE = AC
le triangle isocèle AEC ayant un angle de 60° il est équilatéral et donc EC = EA
AED isocèle (angles)
donc EC = ED
donc les angles dans le triangle ECD se calculent facilement
donc l'angle ADC = angle CDE qu'on vient de calculer - 40°
l'angle BCD s'en déduit facilement.

ce problème archi connu posséde d'autres preuves de ces valeurs.
dont une preuve algébrique via des propriétés des racines d'une certaine équation du 3ème degré, l'utilisation d'un polygone à 18 côtés etc etc...

celle-ci est la plus simple et élémentaire.
évidemment il faut avoir l'idée de ce point E, ce qui ne tombe certainement pas sous le sens !

[Pafapafadidel]

Bien vu!

Aurais tu une référence pour les autres preuves?

Merci en tout cas!

[chan79]

Bien vu!

Aurais tu une référence pour les autres preuves?

Merci en tout cas!

Il me semble que quels que soient les angles des triangles ABC et ABD, on peut calculer les angles demandés. On fixe AB=1
Un exemple en changeant les angles:

loi des sinus dans ABC (les angles sont en degrés)
donc et de même dans ABD:
De même dans ACI et DBI

et

Ensuite, Al Kashi dans CDI pour avoir p.


Enfin, loi des sinus dans CDI pour avoir le sinus de



Evidemment, on n'arrive pas à une formule simple.

[mathafou]

Il me semble que quels que soient les angles des triangles ABC et ABD, on peut calculer les angles demandés ...
Evidemment, on n'arrive pas à une formule simple.

tout à fait et cette formule ne donne .... rien du tout à part une valeur approchée de l'angle quand on la met dans une calculette.
Il s'agit ici de prouver que les angles ont très exactement les valeurs obtenues et "la formule" ne sert à rien du tout

en fait c'est à partir de cette formule qu'on obtient une équation de degré 3 dont les racines possèdent certaines particularités et que par conséquent ces racines (qui ne peuvent pas s'exprimer avec des formules "simples", voir Cardan) satisfont à certaines relations qui permettent de simplifier la formule dans ce cas particulier.

ce cas particulier en est réellement un
pour toutes les autres valeurs des angles (ou presque) on obtient des valeurs irrationnelles (en degrés) impossible à calculer exactement à part écrire textuellement la formule ce qui n'avance pas à grand chose !

ces valeurs "fortuites" des angles (adventitious en anglais) amènent à ce qu'on appelle des quadrilatères fortuits (adventitious quadrilateral), exceptions très rares (il en existe seulement une cinquantaine ou du genre) pour lesquelles tous les angles ont des valeurs rationnelles (en tours)

quant à d'autres démonstrations voir ici : cut-the-knot
La démonstration via l'équation du 3ème degré est ici : mon site

[chan79]

Disons que c'est une valeur exacte dont l'écriture est très encombrante et fait intervenir des fonctions trigonométriques.