Probabilités à "changement de variables"

[Claw]

Bonjour tout le monde,

J'ai récemment vu le film "21" ("Las Vegas 21" en français je crois) et une notion de probabilités développée dans une scène du film m'a intriguée.

Dans la scène en question, un professeur prend son étudiant (surdoué) à part et lui dit:
"Vous êtes à la télévision et l'animateur vous montre trois portes, derrière une de ces portes se trouve une voiture et derrière les deux autres se trouvent des chèvres. Choisissez votre porte: la numéro 1,2, ou 3?"

L'étudiant choisit la numéro 1

Le prof répond:
"Bien, maintenant, pour augmenter un peu le suspense, l'animateur ouvre une autre porte, disons la porte numéro 3, derrière laquelle se trouve une chèvre. Il s'avance ensuite vers vous et vous demande: Alors, gardez vous votre choix ou changez vous pour choisir la porte numéro 2? Que vaut-il mieux faire"

Ce à quoi l'étudiant répond:

"Je change pour la porte numéro 2 car il y a eu un changement de variable et alors que la porte numéro 1 m'offre 1/3 chances de gagner la porte numéro 2 m'en offre 2/3"

Le prof le félicite en lui disant que c'est la bonne réponse.

Tout d'abord je trouve ce raisonnement absolument contre intuitif, n'ayant que des notions très basique sur les probabilités (jamais étudiées, juste lu des articles en traitant). J'ai donc essayé de trouver une explication mais elle ne me satisfait que très moyennement et elle serait difficile à expliquer sans le vocabulaire adéquat. J'ai donc décidé de vous faire partager mon incompréhension, et j'aimerais bien si vous comprenez cette énigme que vous me l'expliquiez car j'ai du mal avec ce raisonnement (et j'ai très peur qu'il soit faux et fiat rapidement par les scénaristes pour donner une impression de complexité).

Merci d'avance^^

Claw

[AL-kashi23]

bonsoir,

ce problème est mondialement connu et a fait l'objet de nombreux débats... sur ce forum !

Donc utilise la fonction recherche notamment dans la partie énigmes (il a été traité il y a peu).

Mais première indication: la réponse de l'élève est juste!

[Claw]

En effet! je n'avais pas vu après une recherche et quelques liens plus tard, voici une explication simple de la solution, (merci je ne pensais pas que ce problème était si connu)

La réponse est oui; la chance de gagner la voiture double quand le joueur modifie systématiquement son choix initial.

Il existe trois scenarii possibles, chacun étant statistiquement équiprobable (1/3):

En imaginant qu'on soit dans le cas de figure suivant : porte 1=chèvre, porte 2=chèvre et porte 3=voiture;

* Le candidat choisit la porte 1 avec une chèvre derrière. Le présentateur choisira la porte avec l'autre chèvre (la porte 2 dans cet exemple). Un changement permettra de gagner la voiture.
* Le candidat choisit la porte 2 avec une chèvre derrière . Le présentateur choisira la porte avec l'autre chèvre (la porte 1 dans cet exemple). Un changement permettra de gagner la voiture.
* Le candidat choisit la porte où il y a la voiture. Le présentateur choisira n'importe laquelle des deux autres portes (portes 1 et 2 dans cet exemple), puisqu'il est certain qu'elles cachent des chèvres. Un changement fera perdre le candidat.
Dans les deux premiers cas, le candidat gagne en changeant, seul le troisième scénario entraine une perte du candidat après le changement. Il y'a donc une probabilité de gain de 2/3 si le candidat change!

[AL-kashi23]

Voila donc une résolution des plus logiques pour un problème qui peut paraïtre des plus illogiques ! Comme quoi...

[john32]

Raisonnement intéressant mais érroné car il y a deux chèvres dans le cas ou tu choisis la voiture donc deux possibilités. Tu gagnes donc dans 2 cas sur 4 et non 2/3.
Gagner sans changer c'est trouver du premier coup (=1/3)
Gagner en changeant c'est prendre le seul restant c'est 1/2

[izamane95]

C

e à quoi l'étudiant répond:

"Je change pour la porte numéro 2 car il y a eu un changement de variable et alors que la porte numéro 1 m'offre 1/3 chances de gagner la porte numéro 2 m'en offre 2/3"

mais non....le raisonnement de l'élève est un peu faux meme s'il trouve la bonne réponse, dans ce cas étant donné qu'on a découvert ce qui se trouve derrière la porte 3, la porte numéro 1 lui offre 1/2 (on exclu la porte 3) chances de gagner et la porte numéro 2 lui en offre 2/2=1 c'est à dire gagner

[hamzaben]

la réponse de l'éléve est fausse, a mon avis, je m'éxplique:

Imaginons qu'au lieu qu'il y ait un joueur, il y en ai 2,

Le joueur A choisit la porte 1 , le présentateur ouvre la porte 2 ou il y a une chévre, d'aprés l'éléve,le joueur A a 33 pour cent de chance de gagner en gardant la porte 1.
Le joueur B lui choisit la porte 3, le présentateur a ouvert la porte 2, dans laquelle on a trouvé une chévre, d'aprés la thése de l'éleve, le joueur B a 33 pour cent de chance de gagner en gardant la porte 3.
Or, il reste 2 portes, la porte 1 et la porte 3, dans l'une d'entre elles se trouve la voiture, les 2 joueurs ayant choisi chacun une porte, il totalisent a eux deux 100 pour cent de chance de gagner la voiture, c'est a dire que c'est sur que l'un des deux gagnera.
Or, si on se refére a la thése de l'éléve, chaque joueur a 33 pour cent de chances de gagner, donc il totalisent a eux deux 66 pour cent de chance de gagner ce qui est absurde, l'éléve a donc tort.
Ce qui est vrai c'est que a 3 portes, on a 33 pour cent de chances de gagner en choisissant l'une, mais une fois une des trois éliminées, ca devient 50 50. C'est comme a la roulette, il y a une chance sur 8 qu'il y ait 3 rouges succéssifs, mais une fois qu'on a deja eu 2 rouges, il ya une chance sur 2 que la troisiéme soit. convaincus?

[lioneell]

la réponse de l'éléve est fausse, a mon avis, je m'éxplique:

Imaginons qu'au lieu qu'il y ait un joueur, il y en ai 2,

Le joueur A choisit la porte 1 , le présentateur ouvre la porte 2 ou il y a une chévre, d'aprés l'éléve,le joueur A a 33 pour cent de chance de gagner en gardant la porte 1.
Le joueur B lui choisit la porte 3, le présentateur a ouvert la porte 2, dans laquelle on a trouvé une chévre, d'aprés la thése de l'éleve, le joueur B a 33 pour cent de chance de gagner en gardant la porte 3.
Or, il reste 2 portes, la porte 1 et la porte 3, dans l'une d'entre elles se trouve la voiture, les 2 joueurs ayant choisi chacun une porte, il totalisent a eux deux 100 pour cent de chance de gagner la voiture, c'est a dire que c'est sur que l'un des deux gagnera.
Or, si on se refére a la thése de l'éléve, chaque joueur a 33 pour cent de chances de gagner, donc il totalisent a eux deux 66 pour cent de chance de gagner ce qui est absurde, l'éléve a donc tort.
Ce qui est vrai c'est que a 3 portes, on a 33 pour cent de chances de gagner en choisissant l'une, mais une fois une des trois éliminées, ca devient 50 50. C'est comme a la roulette, il y a une chance sur 8 qu'il y ait 3 rouges succéssifs, mais une fois qu'on a deja eu 2 rouges, il ya une chance sur 2 que la troisiéme soit. convaincus?

:marteau: :marteau: :marteau: :marteau: Tu n'as pas compris la thèse de l'élève mais ce n'est pas grave. Ce n'est pas comme la roulette, oui 1 chance sur 8 pour 3 rouges succéssifs, oui 1 chance sur 2 après 2 rouges successifs mais rien à vois avec les portes :mur: :mur: :mur:
Quand ton joueur 2 ouvre la porte C, si la porte B a déjà était ouverte alors le joueur 2 a 66% de chance de gagner (66% pour lui, et 33% pour le joueur 1 font bien les 100% que tu cherches petit sophiste).
Maintenant si le joueur 1 choisit la porte A, le joueur 2 choisit la porte C, le presentateur intervient et ouvre la porte B et y trouve une chevre, on n''est plus dans le même probleme car le presentateur ne pourra ouvrir une porte que dans 2 cas sur 3, les cas où les joueurs auront choisi l'un ou l'autre la bonne porte. Dans ce cas là avant l'intervention du presentateur chaque joueur a 33% de chances de gagner, mais après ouverture de la porte on passe bien a 50% de chance de gagner,( le changement de porte ne serait plus intéressant.)me semble-t-il....
C'est un problème passionnant parce qu'il dépasse l'intuition et ramène à la modestie.

Convaincu? En fait je ne veux pas te convaincre mais juste rassurer ceux qui ont compris et que tu aurais pu embrouiller. Pour moi ta solution me va très bien.