Probabilitées

[raplaplat]

Bonjour, je travaille actuellement sur un projet, et je me suis heurté à un problème lors de la réalisation de celui-ci.

Admettons une loterie de n boules, numérotées de 1 à n, ou l'on tire les boules une à une, et ou l'on remet les boules dans le panier de loterie tout de suite après les avoirs tirées.
Je cherche à calculer le nombre de tirage qu'il faudrait pour avoir une probabilité de 50% de chances de tirer toutes les boules.
J'ai passé ~ 4h à essayer d'appliquer diverses lois et formules, mais je bloque :X

Ce serait gentil à vous de me donner un coup de pouce ! :)

Bonne journée à vous, et merci d'avance !

[Plimpton]

L'énoncé est un peu mal expliqué ... Tu remets les boules seulement à la fin de l'ensemble des tirages, ou tu tire une boule que tu remets instantanément ?

[raplaplat]

Désolé, c'était clair dans ma tête :X

Je remet la boule tout de suite après l'avoir tirée.

[Plimpton]

Donc si j'ai bien compris, tu as une urne avec n boules. Tu en tires n dans un tirage. Tu veux savoir combien de tirages il faut faire pour avoir 50% de chances que parmi un de ces tirages, l'un d'entre eux contienne toutes les boules une unique fois, c'est bien ça ?

[raplaplat]

J'ai n boules dans l'urne, numérotés de 1 à n, je les tires une par une, et les remets dans l'urne apres en avoir tiré une, je fais x tirages, et je voudrais savoir pour quelle valeur de x, la probabilité d'avoir eu tout les numéros avoisine les 50%

[Plimpton]

ok, c'est pas si dur !

on va déjà faire sur 1 seul tirage. On prend par exemple n=5, donc on a 5 boules. La probabilité de les tirer toutes une seule fois est (5/5)(4/5)(3/5)(2/5)(1/5)
Ce qui équivaut à (5!)/(5^5) soit 0.0384

Je rappelle que 5! = 1x2x3x4x5

donc plus généralement, pour un certain n, on a p = (n!)/(n^n)

On veut maintenant savoir combien de fois il faut répéter cette expérience pour avoir une chance sur 2 que un de ces tirages soit un succès.

0.5 = (n!)/(n^n)*x
x = (n^n)/(2n!)

[raplaplat]

Je crois que je suis débile :''(

Merci beaucoup, c'était en effet tout bête, mais je suis parti sur une mauvaise piste dès le début, du coup je voyais pas ce résultat si simple, merci encore !

[Plimpton]

exemple : avec n=5, on trouve qu'il faut environ 13 tirages

[Plimpton]

De rien ! ;)

[Robot]

Sauf que le calcul de Plimpton ne va pas du tout ...
Le problème n'est pas du tout de tirer toutes les boules en 5 tirages successifs.

[raplaplat]

Oui, en effet, j'ai essayé avec 16 et...

Hum, je ne pense pas qu'il faille 440 000 tirages pour avoir les 16 boules de la même couleur :X

Du coup, je suis toujours dans la panade ! :D

[Robot]

Pour prendre les choses par le bon bout :

Notons la probabilité qu'au bout de tirages il y ait eu boules différentes tirées. Notons le vecteur de composantes .
1°) Qu'est-ce que ?
2°) Exprimer en fonction de . (Indication : trouver une matrice telle que pour tout ).

[Robot]

Hum, je ne pense pas qu'il faille 440 000 tirages pour avoir les 16 boules de la même couleur :X

Ce que tu dis là ne correspond pas du tout à ton énoncé.

[raplaplat]

En effet, avoir les douzes numéros, c'est juste que je l'ai expliqué differemment à une autre personne, je me suis emmêlé les pinceaux !

Je me penche sur le problème et reviens vers vous si nécéssaire ! :)

[raplaplat]

Donc je pense avoir trouvé que pour admettons 5 boules :

Et que

Mais j'ai bien peur de bloquer sur la suite, si je multiplie les deux matrices, j'obtiens et est équivalent.

Je n'ai jamais réellement utilisé les matrices, ni de graphiques probabiliste, j'essaye de comprendre comment ca marche, mais j'ai l'impression de me tromper à un endroit.

Merci encore de votre patience !

[Plimpton]

C'était pas ça, l'énoncé ? :0

[Robot]

@raplaplat : je pense que tu as compris pour . Pour la suite, pas du tout et ton emploi des matrices est assez catastrophique.
Essaie plutôt de commencer par exprimer, de manière compréhensible, les en fonction des .

@Plimpton : pas ça quoi ? Tu n'as pas l'air d'avoir compris l'énoncé. Relis-le attentivement.

[raplaplat]

Je pense avoir trouvé quelque chose avec toujours pour exemple 5 boules Et Et plus généralement un vecteur-ligne avec n terme, et une matrice carrée avec n terme de valeur 1 et une diagonale de valeur 0.

Mais je n'arrive pas a combiner les deux pour avoir une statistique sur le nombre de tirages nécéssaires même si

Désolé d'abuser de votre temps, mais je bloque...

[Robot]

Ton M ne va pas du tout. D'où sors-tu ça ?

Je t'ai proposé d'oublier les matrices pour un temps et de commencer par raisonner.

Comment peut-on arriver à avoir tiré boules distinctes au bout du -ème tirage, en fonction du nombre de boules distinctes à l'issue du -ème tirage ?

En déduire l'expression de en fonction des .

Je t'ai déjà posé la question, malheureusement sans succès. Arrête de sortir des trucs du chapeau et essaie de répondre sérieusement à cette question.