Probabilité d'un triangle

[bdupont]

Je recherche comment résoudre le problème suivant :

Une tige se brise en trois morceaux, quelle est la probabilité pour que, avec ces trois morceaux, on puisse former un triangle ?

L'intérêt de la question est qu'elle établit un pont entre arithmétique et géométrie :karate:

[yos]

Bâton de longueur 1.
x, y les abscisses des points de rupture.
Hypothèse : (x,y) suit la loi uniforme sur [0,1]².
La partie du carré correspondant à l'événement est définie par :
x<1/2<y et y-x<1/2 ou la condition symétrique en x,y.
Son aire est donc 1/4 de l'aire du carré.
1/4 est la probabilité cherchée.

Variantes :
1) On casse le bâton en deux morceaux, on choisit un morceau au hasard que l'on casse en deux morceaux.
2) On casse le bâton en deux morceaux, et on casse le plus grand morceau en deux morceaux.

[bdupont]

Salut Yos,

Belle trouvaille que ces points de rupture ...

Quant à moi j'ai avancé de la façon suivante :


Soit un triangle équilatéral de hauteur 1, un point D intérieur au triangle.
La somme des distances de D à chacun des côtés du triangle est égale à 1.
Chaque segment partant de D représente donc un bout de la tige.
Pour que ces trois segments forment un triangle il faut et il suffit que chacun soit inférieur à 1/2 donc que D soit à l'intérieur du triangle A'B'C' où A',B' et C' sont les milieux des côtés du triangle ABC.
Le rapport des surfaces des deux triangles donnant 1/4, la proba recherchée est bien 1/4.

Une autre solution ?

[yos]

Salut.
C'est indéniablement plus subtil.

Soit un triangle équilatéral de hauteur 1, un point D intérieur au triangle.
La somme des distances de D à chacun des côtés du triangle est égale à 1.
Chaque segment partant de D représente donc un bout de la tige.

Le fait que les longueurs soient aléatoires dans ta modélisation demande de se creuser un peu.

Pour que ces trois segments forment un triangle il faut et il suffit que chacun soit inférieur à 1/2 donc que D soit à l'intérieur du triangle A'B'C' où A',B' et C' sont les milieux des côtés du triangle ABC.
Une autre solution ?

Ca c'est bien et ça me donne une idée : appelons x,y,z les trois longueurs (de somme 1). On représente le triplet (x,y,z) par un point M de l'espace muni d'un rep orth. M se promène dans le triangle équilatéral de sommets (1,0,0), (0,1,0), (1,0,0) (partie positive du plan x+y+z=1) en suivant une loi uniforme. La condition que tu donnes (x, y, z inférieurs à 1/2) nous indique les trois demi-espace avec lesquels on doit intersecter le triangle. On retrouve exactement ce que tu as fait mais je trouve que ça rend les choses plus naturelles.

Je te conseille les deux variantes. Si mes souvenirs sont bons l'une d'elle conduit à la proba 2ln2-1 !!!!

[bdupont]

Salut Yos,

Très belle envolée avec tes 3 demi-espaces qui intersectent le triangle. C'est vrai que c'est plus facile pour définir rigoureusement une distribution. Dans mon approche le point D est assimilé à un jet de fléchette dans le triangle.

Pour varier les plaisirs j'ai pensé à discrétiser le problème :
On divise la tige en 2n parties égales (graduation) et on suppose que la rupture se produit nécessairement sur une graduation. On appelle x, y et z les longueurs (entières) des bouts
x+y+z = 2n
et x= n

Nombre de cas favorables :
si x=0 y=n
si x=1 y=n ou n-1
...
si x= n y=n ou n-1 ...ou 1 ou 0

Soit au total 1+2+ ...+(n+1) = (n+1)(n+2)/2 cas favorables

Nombre de cas total (les contraintes se réduisent à x+y<=2n)
si x=0 y=2n ou 2n-1 ...ou 0
si x=1 y= 2n-1 ou 2n-2 ... ou 0
...
si x=2n y= 0
Soit au total 1+2...+(2n+1) = (2n+1)(2n+2)/2 cas possibles

La probabilité recherchée est donc (n+1)(n+2)/(2n+1)(2n+2)=(n+2)/2(2n+1)

Il suffit alors de faire tendre n vers l'infini pour obtenir p= 1/4

(Mais peut-être que ce passage à la limite est un peu osé... :lol4: )

[sept-épées]

Salut,

un autre petit problème sympathique :

on lance au hasard une allumette de longueur a sur un parquet dont les lattes (jointives) ont pour largeur b. Quelle est la probabilité que l'allumette se trouve à cheval sur une rainure du parquet?

En déduire un procédé expérimental (sans doute l'algorithme le plus merdique de toute l'histoire des maths...) pour calculer les premières décimales de pi.

[bdupont]

Oui c'est amusant.

Pour une simulation de l'expérience en question voir :

http://www.mste.uiuc.edu/reese/buffon/bufjava.html