Probabilité

[MathAK]

On dispose de quatre dés équilibrés à 120 faces. On les lance.

Quelle est la probabilité d’obtenir :

un multiple de 21 ou deux multiples de 9 ?
deux paires ?

j'ai vraiment beaucoup beaucoup de mal avec les proba
j'ai besoin d'aide svp

[pascal16]

de 1 à 120, il y a combien de multiples de 21 ?
idem avec les multiples de 9
et regarde ceux qui sont les deux.
tu peux alors comprendre le dénombrement de la première question

[MathAK]

alors de 1 a 120 il y'a 5 multiple de 21 et 13 multiple de 9 donc c 13*5/120 ???

[MathAK]

13+5/120 ?

[pascal16]

ensuite il faut dissocier, tu as 4 dés,; fait comme si tu faisais 4 lancers

un multiple de 21 :
perso, je comprends "au moins un multiple de 21" et pas "exactement un multiple de 21"
utiliser p(X>=1) sur une loi binomiale bien choisie

deux multiples de 9
là, je comprends exactement deux multiples de 9.
faisable aussi avec de la binomiale

"ou" entre les deux proba
formule de la proba d'une union, il faudra encore dénombrer la proba de faire un multiple de 21 et deux multiples de 9, qui est un peu plus compliqué

si quelqu'un voit plus direct

[MathAK]

okay si j'ai bien compris faut faire comme sa

p(21)=(4,1)*(13/120)*(107/120)

p(9)=(4,2)*(5/120)^2*(115/120)

p(21 et 9) = (4,1)*(1/120)*(119/120)

p(21ou9)=p(21)+p(9)-p(21 et 9)

[pascal16]

j'ai mis mon cerveau au repos ce WE, p(21 et 9) = (4,1)*(1/120)*(119/120) est à vérifier car 9 et 21 ayant 3 comme diviseur commun, on se retrouve dans des événements liés.

[MathAK]

Haha chuis con c (13+5/120) Et l’autre c 102/120
Mais pour le (4,?) chepa quoi mettre

[fatal_error]

hi

non t'as mal compris.

p(21)=(4,1)*(13/120)*(107/120)

ya pas deux dé mais yen a quatre.
on sait pas c'est quoi p(21)

A supposer au moins un multiple de 21 ou(inclusif) au moins deux multiples de neufs
une manière de dénombrer les cas possibles est:
pour k dans 1..4
compter les cas où strictement k multiples de 21 et n'importe quoi d'autre
pour k == 0
compter les cas où aucun multiple de 21 et strictement deux multiples de neuf
compter les cas où aucun multiple de 21 et strictement trois multiples de neuf
compter les cas où aucun multiple de 21 et strictement quatre multiples de neuf

A la fin, total des cas possibles / 120^4

[lyceen95]

Cet exercice est en fait assez compliqué. Il y a plein de cas à envisager. Dans quel cadre tu as cette question ???
En plus, l'énoncé est un peu ambigu. Est-ce qu'on veut tirer un multiple de 21 exactement une fois, ou au moins une fois. Est-ce qu'on veut tirer un multiple de 9 exactement 2 fois, ou au moins 2 fois ?
Il faut donc choisir une interprétation : Je considère que l'énoncé de l'exercice est : tirer un multiple de 21 au moins une fois, ou tirer un multiple de 9 au moins 2 fois.
Ensuite il faut décomposer au maximum l'exercice. Comme poposé par Pascal16.

Si l'exercice est posé dans une école orientée 'programmation informatique', la solution attendue par le prof est peut-être totalement différente. La piste est peut-être d'écrire un programme qui analyse tous les tirages possibles ( 200 Millions), et pour chaque tirage, on regarde s'il satisfait à la demande ou pas.
C'est un programme d'une vingtaine de lignes environ, donc assez simple.

Et si c'est une question que tu te poses, dans le cadre d'un jeu par exemple, alors cette solution 'programme informatique' est surement la plus efficace, si tu as quelques notions de programmation, pour avoir une réponse précise. Pour avoir un ordre de grandeur à 3% près ou 5% près, un peu de bon sens devrait suffire.

[fatal_error]

re,

ou par monte carlo...
https://repl.it/repls/HopefulFrugalParallelprocessing

Code: Tout sélectionner

#https://www.maths-forum.com/cafe-mathematique/probabilite-t210303.html#p1376903
import numpy as np
N = 100000
out = np.random.randint(1,121,(N,4))

def has_at_least_21(row):
    return any(x%21 == 0 for x in row)

def no21_and_at_least_9(row):
    return len(list(filter(lambda x:x%9==0 and x%21!=0, row)))>=2

ok = 0
for row in out:
    if has_at_least_21(row):
        ok+=1
    elif no21_and_at_least_9(row):
        ok+=1
print('p_exp(atLeast21_or_two9)=', ok / N)
print('p_the(atLeast21_or_two9)=', (np.power(120,4)-np.power(103,4)-48*np.power(103,3)) / np.power(120,4))


[GaBuZoMeu]

Pas si compliqué que ça, finalement.

Il vaut mieux, comme assez souvent, penser à l'événement contraire :
N'avoir aucun multiple de 21 et n'avoir pas plus d'un multiple de 9.
On peut le décomposer en la réunion de deux événements disjoints :
1) N'avoir aucun multiple de 21 et aucun multiple de 9.
2) N'avoir aucun multiple de 21 et exactement un multiple de 9

Il n'y a plus qu'à compter : il y a 5 multiples de 21 entre 1 et 120 ; il y a 12 multiples de 9 entre 1 et 120 qui ne sont pas multiples de 21 (il faut enlever 63).

Ça explique la formule cachée dans le code de fatal_error :



On peut toujours faire une simulation pour se rassurer.