Primitives et intégrales

[Kikoo <3 Bieber]

Tout à fait, le problème est : Comment savoir s'il faut rajouter ou non la constante d'intégration ? Faut-il déjà connaitre le calcul ? :hum:

Car oui, il existe une infinité de primitives pour une fonction donnée. Mais pour un tel calcul, ce n'est pas évident de bien choisir les fonctions.

[chan79]

Tout à fait, le problème est : Comment savoir s'il faut rajouter ou non la constante d'intégration ? Faut-il déjà connaitre le calcul ? :hum:

Car oui, il existe une infinité de primitives pour une fonction donnée. Mais pour un tel calcul, ce n'est pas évident de bien choisir les fonctions.

Salut
Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. Quiand on en a une, on a les autres ... je ne vois pas le problème
On peut être amené à calculer la constante s'il y a une condition supplémentaire(du genre: calculer la primitive qui s'annulle pour ....)

[Nightmare]

Ici, le choix de x->x+1 comme primitive de x->1 est appelé par la forme du reste de l'intégrande. Quand on mène un calcul, il faut toujours essayer de prévoir ce qui va être écrit dans une ou deux lignes, ou sinon on fait un brouillon et on analyse ce qui peut être optimisé a posteriori.

[vincentroumezy]

Salut
Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. Quiand on en a une, on a les autres ... je ne vois pas le problème
On peut être amené à calculer la constante s'il y a une condition supplémentaire(du genre: calculer la primitive qui s'annulle pour ....)

Le problème de Kikoo, si j'ai bien compris, c'est de savoir choisir la constante pour faciliter le calcul, notamment, des intégrales.

[Skullkid]

J'imagine que Kikoo <3 Bieber parle du choix de la primitive lors d'une IPP. Pour calculer les primitives de x -> ln(x+1) on est amené à utiliser une primitive de x -> 1, je crois que le sens de sa question est : comment deviner que choisir x -> x+1 donnera un calcul plus simple que x -> x ? La seule réponse que je trouve c'est "on regarde et on ne fonce pas tête baissée"... On sait qu'en choisissant une primitive F de x -> 1, on va devoir intégrer F(x)/(x+1). D'où F(x) = x+1 qui parait le choix le plus naturel.

D'une manière générale, quand on utilise un théorème, c'est bien d'avoir en tête les conclusions qu'il permet de tirer, et pourquoi ces conclusions ont une chance d'être utiles pour le problème auquel on fait face.

Edit : bon du coup mon post reprend les deux précédents, mais "enseigner c'est répéter" :D

[Kikoo <3 Bieber]

Vos réponses sont plus que satisfaisantes ;) Merci

[Luc]

Comme Skullkud l'a dit, l'automatisme en question était bien le choix, presque "canonique", de la primitive avec une constante nulle.

Plus le temps passe, plus je constate un véritable soucis vis à vis de la notion de primitive même si elle semble en façade bien passer.

Je m'y suis attardé un peu ce matin avec les élèves, c'était pas fameux. Ils ont par exemple mis un certain temps avant d'accepter que x->ln(2x) soit une primitive de x->1/x

Dans le cadre des fonctions à variable réelle, il y a quand même une relation d'équivalence naturelle entre les primitives. L'erreur dont tu parles est simplement d'identifier une classe d'équivalence à un représentant particulier (qui s'annule en 1 par exemple). Il est possible de se foutre des constantes et de faire des IPP sans bornes, à ce moment là on fait un calcul "formel".

Luc

[Nightmare]

C'est effectivement possible que ce soit un choix intuitif de représentant, mais cela suppose qu'inconsciemment l'élève sait qu'il a le choix, ce qui ne semble pas toujours être le cas.

Une autre hypothèse est la simple analogie avec la dérivée qui elle est unique.

On peut aussi s'imaginer que le fait d'assimiler le calcul de primitive à une intégrale indéfinie pourrait les laisser croire que le résultat appelle un unique résultat, comme c'est le cas pour l'intégrale définie. On retrouve ce genre de phénomène "d'unicité du résultat par analogie" un peu partout, exemple bateau avec le calcul d'antécédents, qui par analogie à l'image laisse souvent croire aux élèves qu'il n'existe qu'un unique antécédent.

Pour finir dans les hypothèses de misconception, ce pourrait aussi venir du fait de l'introduction rapide du théorème fondamentale de l'analyse pour lesquels le calcul s'effectue toujours avec une constante nulle.

Tout ceci serait à creuser, mais il me semble qu'il y a un problème quelque part dans les programmes à ce niveau. Cela dit, ce n'est pas très important à ce stade de l'apprentissage des maths mais c'est déjà plus dérangeant lorsqu'ils feront de l'application, notamment dans les équadiffs.