Un petit rappel de l'inégalité de Muirhead tout d'abord : https://nrich.maths.org/discus/messages/117730/Muirhead-117920.pdf ( c'est un .pdf ) .
( le symbole
Je me suis toujours interrogé sur une preuve totalement élémentaire, utilisant soit une des règles desquelles découlent la plupart des inégalités ( le fait qu'un carré soit positif ), ou alors une approche analytique élémentaire ...
J'avais vu une preuve basée sur AM-GM pondérée, mais impossible de donner une preuve élémentaire à cette dernière sans passer par l'inégalité de Jensen ...
En effet, j'avais remarqué que tous les cas particuliers de Muirhead peuvent être démontrés en réécrivant tout sous forme de somme de carrés ( c'est ce que je fais au moins comme la plupart des correcteurs ne connaissent pas Muirhead ) .
Le procédé est simple, si je veux par exemple prouver que
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Chacune des inégalités ci-dessus peut-être prouvée avec Muirhead, mais on s'en fou pour l'instant car notre but est de ne pas appliquer Muirhead .
Mais, le LHS-RHS de chaque inégalité peut aussi être réécrit sous forme de somme de carrés, car par exemple :
En faisant de même pour les autres ( il suffit juste de trouver les facteurs adéquats pour le polynôme
( PS : c'est justement AM-GM à 5 variables ) .
Cette "technique" que j'ai découverte en expérimentant un peu peut aussi être appliquée à n'importe quel cas particulier de Muirhead, car jusque maintenant, j'ai réécrit une trentaine d'inégalités découlant de Muirhead sous forme de sommes de carrés .
On peut donc dire que tous les cas de Muirhead peuvent être démontrés via réécriture sous forme de somme de carrés .
Donc voici ma question : peut-on partir de cette technique de démonstration des cas particuliers pour avoir une preuve générale de l'inégalité de Muirhead ?
Merci !