Bon, on va refaire un petit bout de la théorie...
On prend une courbe paramétrée
de classe
que l'on suppose parcourue par longueur d'arc, c'est à dire telle que,
.
On a donc
(produit scalaire) pour tout t de I et, en dérivant on en déduit que
:
et
sont orthogonaux.
Pour tout vecteur
de
notons
l'image de
par la rotation d'angle
(si
dans une b.o.n.d. alors
)
Il existe alors un (unique) réel
tel que
qui est appellé "courbure de
au point
" (et ce qu'on appelle le "rayon de courbure", c'est
qui n'existe que lorsque
).
On a aussi (autre définition possible)
(déterminant calculé dans n'importe quelle base orthonormée directe)
Bilan "calculatoire" : si on écrit
on a
et, si on connait la fonction
et qu'on cherche
, c'est ces équations là qu'il faut résoudre.
Après, contrairement à ce que j'avais dit (j'ai peut-être confondu avec la dimension 3 où, connaissant la courbure et la torsion, on a du mal à intégrer l'équa-diff) on peut pas mal avancer dans la résolution :
La première équation dit que
et
où
est une fonction de
et si on injecte ça dans la deuxième équation, ça donne
c'est à dire
(ce qui donnait d'ailleurs une troisième possibilité simple pour la définition du rayon de courbure)
Donc il suffit de prendre pour
une primitive quelconque de
(ce qui laisse le choix de la "direction de départ" de la courbe) puis d'en déduire
et
puis d'en déduire
et
(à une constante près ce qui laisse le choix du "point de départ" de la courbe).
Donc c'est pas vraiment un problème de résolution d'équa. diff. mais uniquement des problèmes de calculs de primitives (qu'on risque en général de pas arriver à trouver explicitement...)