Polynômes...

[euler13190]

Bonsoir,
Je cherche à répondre à cette question...
trouver tous les polynômes tels que p(0)=p'(1)=1 , p(1)=p'(0)=0
Un indice please?

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Ça peut se traduire en un système de congruences, et le théorème chinois entre en action.

[euler13190]

Plus précisément si possible?

[euler13190]

J'ai trouvé un polynôme qui convient P0(X)=3/2 X^4-5/2X^2+1.
Pui j'ai montré que P vérifie les conditions souhaitées si et seulement si P est de la forme P0+X^2(X−1)^2R avec R∈R[X].
Vos avis?

[phyelec]

Bonjour,

le polynôme que vous avez trouver est un des polynômes qui vérifient les conditions demandées. Mais la question est "tous les polynômes".

un polynôme c'est :



en appliquant les conditions p(0)=p'(1)=1 , p(1)=p'(0)=0, vous trouvez une condition sur les ( qui est vérifiée par le polynôme que vous avez trouvé)

[GaBuZoMeu]

Ton polynôme P0 ne convient pas. Sa dérivée en 0 n'est pas nulle.

J'explique le système de congruences :

Les conditions en 0 peuvent se traduire par le fait que est congru à modulo , et les conditions en 1 par le fait que est congru à modulo .
Le théorème des restes chinois, avec l'égalité de Bezout nous dit que les solutions sont les polynômes congrus à un certain polynôme que je te laisse calculer modulo .

Ce sont des calculs un peu lourds. Il est moins fatigant de chercher l'unique polynôme de degré 3 satisfaisant les conditions (les autres lui sont congrus modulo . Les conditions en 0 imposent au polynôme d'être de la forme et les conditions en 1 permettent de déterminer et .

On peut aussi signaler la méthode d'interpolation de Hermite par les différences divisées :



qui donne .

[euler13190]

Il me semble que la dérivée de P0(X)=3/2 X^4-5/2X^2+1 s'annule en 0...

[GaBuZoMeu]

Tu as raison, ton polynôme convient, je l'avais mal lu.
Comment l'as-tu trouvé ?
Ci-dessus, j'ai donné trois moyens de procéder. Aucun ne donne ton polynôme (qui est bien sûr congru aux autres modulo ).

[euler13190]

En traçant une courbe qui admet une tangent horizontale en (0;1) et y=x-1 en (1;0) .
Une fct paire du 4ème degré vérifie ces deux conditions...
Mais une cubique peut convenir aussi...

[GaBuZoMeu]

Si je comprends bien, tu as posé et déterminé et avec les conditions en 1.

[euler13190]

Exact. Pour la cubique avec une même méthode j'ai trouvé P0(x)=3x^3-4x^2+2.
En conclusion du problème, il y a une infinité de solutions de la forme P(x)=P0(x)+x^2(x-1)^2Q(x) avec Q un polynôme Quelconque.

[GaBuZoMeu]

Oui, c'est cela, c'est le polynôme que j'ai indiqué comme résultat de la méthode des différences divisées. Il y a unicité pour le degré .

[mathelot]

Exact. Pour la cubique avec une même méthode j'ai trouvé P0(x)=3x^3-4x^2+2.

tu es sûr ?

[GaBuZoMeu]

Une coquille, visiblement !