Polygone et périmètre

[Max-Mtp]

Bonjour à tous,

Je cherche à exprimer le périmètre intérieur d’un polygone quelconque à angles droits (en rouge) en fonction du périmètre extérieur (en noir) et d’une épaisseur constante qui les sépare .



J'aurai la démarche suivante:

1) Je voudrais démontrer que quelque soit ce polygone à angles droits, on a un périmètre égale au périmètre d'un rectangle

de longueur

et

de largeur .



2) Je voudrais ensuite démontrer que le périmètre d'un rectangle intérieur (en rouge) en fonction du périmètre extérieur (en noir) et d’une épaisseur constante qui les sépare est le suivant:





Quelqu'un pourrait m'aider svp?

Il y a peut-être d'autres manières de le démontrer avec d'autres outils tel que la topologie ou que sais-je...

Bien cordialement

[WillyCagnes]

bonjour,

question2 :la formule est bonne

perimètre noire exterieur:
Largeur = largeur rouge + 2ec
longueur= largeur rouge +2ec

d'où le perimètre exterieur = 2(largeur rouge + longueur rouge +4ec)
P(ext)= P(int) +8ec
donc P(int)=P(ext) -8ec


en prenant d'autres formes de polygone rectangle ,je retrouve la même formule

[Ben314]

La formule est valable pour les polygones qui ne tournent font "qu'une fois un tour" (par exemple tout ceux que ne se "recoupent" pas) vu que, dans ce cas, la somme des angles orientés aux sommets (angles droits dans ton cas) vaut 2.pi radians.

[Max-Mtp]

Merci pour vos réponses, dans le cas ou le polygone n'est pas orthogonal, y a t'il une démonstration permettant de définir le périmètre intérieur en fonction du périmètre extérieur et de l'épaisseur?

[Imod]

Je crains que ce soit impossible

Si on suit les côtés comme les bords d'une route il suffit de remplacer 8 par dans la formule précédente sinon la différence de périmètre dépend clairement des angles et des côtés du polygone .

Plutôt sympa ce problème :++:

Imod

[Ben314]

Si en suivant le bord du polygône (et en tournant dans le sens trigo) tu fait des angles succéssifs de (angles orientés : positifs si on tourne à gauche et négatif sinon) alors la somme des vaut et, si tu décale de vers l'intérieur, le nouveau périmètre vaut de moins que le périmètre de départ...

[Imod]

La différence des périmètres dépend donc des angles du polygone mais pas de ses côtés , c'est d'ailleurs assez intuitif .

Imod

[Max-Mtp]

Bonjour Ben134, ta méthode est très intéressante par compte je n'arrive pas à retrouver de moins que le périmètre de départ.

[Ben314]

[Max-Mtp]

Merci pour ton schéma explicite :)

[Max-Mtp]

Par compte si le polygone n'est pas orthogonal, alors la somme des ne vaut pas obligatoirement , ce qui peut poser problème...

[Ben314]

Si on numérote les cotés (orientés) du polygone 1,2,3,...,n et que l'on appelle l'angle que fait le -ième coté avec le vecteur (1,0) alors où est l'angle orienté entre le coté n et le coté n+1 (positif si on tourne à gauche et négatif si on tourne à droite).
Cela signifie que et, lorsque l'on passe du coté n au coté 1 en ajoutant on obtient donc modulo .