Petite question

[Adam Pierson]

soit une suite (fn) qui converge uniformement vers f , avec fn continue pour tout n
Comment montrer que f est aussi continue?

[liiphou]

bonjour,
pour montrer que ta fonction f est continue il faut montrer que pour tout suite (xn)n cv vers x, on a
il existe N appartenant à l'ensemble des entiers naturel tq qqsoit n>N |f(x)-f(xn)|< e(=epsilon)
or,
|f(x)-f(xn)|=|f(x)-fn(x)+fn(x)-fn(xn)+fn(xn)-f(xn)|
<|f(x)-fn(x)|+|fn(x)-fn(xn)|+|fn(xn)-f(xn)|
le premier terme < à e1 grace à la cv unif de fn vers f
le second terme < à e2 grace à la continuité de fn
le troisième treme < à e3 grace à la v unif de fn vers f
il suffit alors de prendre un n assez grand et e=e1+e2+e3 et c'est fini
a+

[abcd22]

Si fn converge uniformément vers f sur I, soit , pour tout x dans I, pour tout n :
, d'où

Ensuite si on choisit , on peut choisir assez grand pour que le premier et le 3e morceau soient majorés par grâce à la convergence uniforme, et pour ce (fixé), on utilise la continuité de pour dire que si est assez proche de , le morceau du milieu est aussi inférieur à .

[Adam Pierson]

merci les gars :we: