Petit problème pour férus de maths

par **Anonyme** » 13 Mar 2006, 22:22

Bonjour à tous,

mon professeur de seconde (il y a de ça qqs années donc) m'avait démontré un jour que :

1,9999999..... (des 9 à l'infini après la virgule)

était égal à 2.

Ceci avec une démonstration d'une dizaine de ligne, parfaitement correcte et plutôt logique (de mémoire). Je me souviens qu'on commençait par:

X= 0,9999999999....

et je ne me souviens plus de la suite. Cela me trotte dasn l'esprit depuis qqs temps et je n'arrive pas à retrouver la démonstration.

Quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci. Alexis.

par **abcd22** » 13 Mar 2006, 22:30

Bonsoir !
En fait il suffit de montrer que X = 1. Pour cela on remarque que 10 X = 9,999999.... = 9 + X, et l'unique solution de 10 X = 9 + X est X = 1.

par **Anonyme** » 13 Mar 2006, 22:48

Merci beaucoup !
vous m'otez d'un poids inimaginable.
ça n'était pas si dur que ce que je pensais pourtant...2 lignes suffisent !

Merci, et que vivent les maths !

Alexis.

par **Anonyme** » 14 Mar 2006, 19:23

oui, mais il me semble qu'il y avait une autre démonstration... je vais me renseigner...

par **abcd22** » 14 Mar 2006, 21:08

Oui, on peut aussi dire que

.

par **yos** » 15 Mar 2006, 00:00

ou encore que |1-0,9999.....|=0.
ou encore qu'il n'y a pas de réels entre 0,9999... et 1.

par **Patastronch** » 15 Mar 2006, 02:59

simple curiosité, est ce qu'on peut dire que 0,999....9998 existe ?
avec une infinité de 9 entre la virgule et le 8 final.

par **yos** » 15 Mar 2006, 15:28

Patastronch a écrit:simple curiosité, est ce qu'on peut dire que 0,999....9998 existe ?
avec une infinité de 9 entre la virgule et le 8 final.

Non car il n'y a pas de final.

par **Alpha** » 15 Mar 2006, 18:40

Salut,

juste une remarque, la vraie définition de l'écriture d'un nombre en base

est celle utilisée par abcd22 pour montrer que

.

En fait, quand nous écrivons les nombres sous la forme habituelle

..., sans le savoir, nous écrivons la somme d'une série. C'est d'ailleurs la seule définition rigoureuse justifiant cette écriture.

On peut même montrer, en utilisant les propriétés de

, que tout réel compris dans

(et donc on généralise immédiatement à

) admet un unique développement propre dans toute base

, c'est-à-dire qu'étant donné

et un entier

, il existe une unique suite

, vérifiant :

-pour tout

,

-la suite

n'est pas stationnaire à

(c'est le caractère "propre" du développement)
-

.

Dans le cas

, cela s'appelle l'existence et l'unicité de développement décimal propre d'un réel, ce qui correpond à l'écriture

Mais

est le développement impropre du réel

, car il est stationnaire à

. Ainsi, tous les nombres étant composés d'une infinité de 9 à partir d'un certain rang après la virgule se trouvent écrits dans leur développement impropre, et non dans leur développement propre. Ainsi,

(

: développement impropre ,

: développement propre).

Alpha+

par **Anonyme** » 15 Mar 2006, 19:38

J'ai du mal à comprendre...

par **julian** » 15 Mar 2006, 21:16

Et moi je n'y comprends même presque rien, hormis la fin!!! :marteau: :ptdr:

Et ça me fait penser que des mathématiciens ont eu un prix il n'y a pas si longtemsp que ça pour avoir démontrer la "nature" des nombres entiers il me semble. Ca se rapporte peut-être du sujet , à moins que je sois totallement à côté de la plaque. Quelqu'un aurait-il des infos sur cette démonstration? Qu'elle soit abordable ou pas, juste histoire de voir de quelle manière ils s'y sont pris. :++:

Cordialement.

par **Anonyme** » 15 Mar 2006, 21:29

C'est quoi ça "la nature des nombres entiers"?

par **Patastronch** » 16 Mar 2006, 01:44

yos a écrit:Non car il n'y a pas de final.

Tu veux dire que :

0,999...9888...8 = 0.999...9 = 1
avec une infinité de 9 suivi d'une infinité de 8 pour le premier nombre.

?

Ou que tout simplement le nombre n'existe pas ? C'est plus ca ma question de départ.

par **yos** » 16 Mar 2006, 15:25

0,999...9888...8 = 0.999...9 = 1
avec une infinité de 9 suivie d'une infinité de 8 pour le premier nombre.

Les décimales sont ordonnées! Une fois que tu auras mis une infinité de 9, tu ne pourras plus rien mettre.

par **Anonyme** » 16 Mar 2006, 19:09

On en peut pas mettre une infinité de 9...

par **Patastronch** » 16 Mar 2006, 19:25

yos a écrit:Les décimales sont ordonnées! Une fois que tu auras mis une infinité de 9, tu ne pourras plus rien mettre.

Et donc ca veut dire que le nombre existe ou qu'il n'existe pas ?

Temps a écrit:On en peut pas mettre une infinité de 9...

Oui c est une question de bon sens, mais je demande pas si on peut l'ecrire ou pas.

Bon un exemple plus clair :

Je définit le nombre X de lamaniere suivante :
Un zero suivit d'une virgule qsuivit de N 9 suivit d'un 8

Pour N fixé mais quelconque on a bien :

0,999...98<0,999...99

Mais pour N qui tends vers l'infinie vous me dites que l'inégalité ne deviens plus vrai car mon nombre n'existe plus.Pourtant il est parfaitemetn définit, que le 8 n'apparaisse jamais c'est une question de bon sens mais ca n'implique pas la non existance du nombre pour moi. Y a un truc qui m'echappe.

En fait ma question serait plus : est ce que définir un nombre suffit a prouver son existance sinon pourquoi ?

par **Alpha** » 16 Mar 2006, 21:12

Salut, Patastronch,

le "nombre" 0,999999.....88888... n'a pas de sens! Pour que tu t'en rendes comptes, il faut que tu fasses attention à ce que veut dire "une infinité de..." Ici, la seule signification de "une infinité de 9", est, conformément à l'intuition, que quel que soit le rang N auquel tu te places après la virgule, pour tout n supérieur ou égal à N, le n-ième chiffre après la virgule est un 9. Donc il est impossible qu'à partir d'un certain rang, il y ait un 8! Comment veux-tu avoir une infinité de 9 qui se succèdent, puis ensuite une infinité de 8 ou même un seul 8?

Bien cordialement,

Alpha

par **Patastronch** » 17 Mar 2006, 09:48

parceque tu trouves qu'un nombre transcendant a plus de sens ? Explique moi la différence entre les deux stp ... Non je suis pas convaincu encore, enfin l'argument "y a trop de '9' devant ton '8' " je trouve ca trop leger surtout, ou alors justifiez moi en quoi un transcendant est plus crédible qu'un tel nombre.

Si je ne m'abuse il y a bien une infinité de '1' avant le dernier '2' dans le nombre pi ? (attention je ne dis pas qu'il existe un dernier '2', de la meme maniere que je ne dis pas que mon dernier '8' existe, mais mais je ne vois pas en quoi un nombre parfaitement définit ne puisse pas exister. Le nombre de Chaitin est parfaitement définit et pourtant incalculable, mais cela ne signifit pas qu'il n'existe pas.)

Pour ma part 0,999...98 = 0,999...99 mais uniquement parceque ma définition est en réalité celle de 0,999...99 (enfin pour ma part). Mais ce n'estp as parcequ'une propriété ne se vérifit pas qu'elle est fausse ou qu'elle implique l'inexistance de cette propriété ou du nombre (toujours a mon humble avis).

par **abcd22** » 17 Mar 2006, 15:38

Quel est le rapport avec les nombres transcendants ? Un nombre transcendant est un nombre qui n'est racine d'aucun polynôme, on peut très bien en définir (Pi peut être défini comme le rapport entre le périmètre et le rayon d'un cercle quelconque, e comme le nombre tel que ln(e) = 1)... Par contre les nombres dont tu parles n'existent pas tout simplement parce que ce que tu dis n'a pas de sens !

Patastronch a écrit:Si je ne m'abuse il y a bien une infinité de '1' avant le dernier '2' dans le nombre pi ? (attention je ne dis pas qu'il existe un dernier '2', de la meme maniere que je ne dis pas que mon dernier '8' existe, mais mais je ne vois pas en quoi un nombre parfaitement définit ne puisse pas exister. Le nombre de Chaitin est parfaitement définit et pourtant incalculable, mais cela ne signifit pas qu'il n'existe pas.)

Ben justement, le « dernier 2 » et le « 8 » n'existent pas, tu ne peux pas dire que ton nombre est parfaitement défini alors que tu fais intervenir des choses qui n'existent pas dans sa définition ! La phrase « il y a bien une infinité de '1' avant le dernier '2' dans le nombre pi » n'a pas de sens puisqu'il n'y a pas de dernier 2 dans le nombre pi, tu peux dire qu'il y a une infinité de 1 et une infinité de 2 dans le nombre pi, mais pas parler du « dernier », et si tu prends n'importe quel 2 du nombre pi il y aura toujours un nombre fini de 1 avant.

par **Alpha** » 17 Mar 2006, 17:34

Salut Patastronch, je rejoins évidemment ce que dit abcd22, et je t'invite à relire avec plus d'attention ce que j'ai écrit... Et d'y réfléchir...

Alpha

PS : Tu es en quelle classe Patastronch?

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