Périmètre et aires...

[Lostounet]

Bonjour,

Existe-t-il un lien mathématique entre aire et périmètre ?
Un périmètre renferme-t-il une aire finie maximale quand il forme un cercle ?

Désolé si la question est mal formulée/pas claire.

[Nightmare]

Hello,

ces questions se réfèrent à [url="http://fr.wikipedia.org/wiki/Isop%C3%A9rim%C3%A9trie#Dimension_2"]l'isopérimétrie[/url]. Je te laisse lire le lien qui répondra à tes questions.

Pour un lien entre aire et périmètre, on a la fameuse [url="http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_isop%C3%A9rim%C3%A9trique"]inégalité isopérimétrique[/url] qui induit le [url="http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_isop%C3%A9rim%C3%A9trique"]théorème isopérimétrique[/url].

Bonne lecture. (il y a surement mieux que wikipédia, ask google).
:happy3:

[Lostounet]

Thank you very much !

:we:

[Nightmare]

N'hésite pas à poser des questions, je me suis contenté de lien au premier abord car ta question brut n'appelait pas de réponse précise.

[Lostounet]

Night, j'essaye de lire et de comprendre mais il me manque les bases pour comprendre l'article de Wiki !

[Dlzlogic]

Night, j'essaye de lire et de comprendre mais il me manque les bases pour comprendre l'article de Wiki !

Bonjour,
J'ai utilisé cela pour distinguer une zone de forme ramassée d'une zone de forme allongée. Dans mon cas c'était parfaitement subjectif, mais le résultat est 100% satisfaisant.
On sait que le périmètre d'une zone peut tendre vers l'infini, alors que tend vers une limite finie.
Bonne soirée.

[Nightmare]

Que te manque-t-il?

Pour la démonstration sur le fait que la figure d'aire maximale pour un périmètre donné est un cercle, celle de Steiner proposée sur Wiki me semble abordable avec juste un peu de connaissances géométriques.

[Lostounet]

Euh désolé Dlzlogic, mais je ne comprends pas !

@Night: Il me manque beaucoup de choses pour comprendre l'article :p C'est quoi la "mesure de Lebesgue" ?
Tu parles de la démo du deuxième lien?

[Nightmare]

Je faisais référence à la preuve proposée dans la section "Frontière non polygonale" dans le premier lien (isopérimétrie) que je t'ai donné.

Une fois sur la page wiki mentionnée, tape "steiner" dans la fonction recherche de ton navigateur et va à la deuxième occurrence.

:happy3:

[Lostounet]

Ah en effet, je comprends mieux...
Tiens, pourquoi une bulle de savon est-elle presque toujours "sphérique" ?
Pourquoi les planètes peuvent-elles plus facilement être assimilées à des boules qu'à d'autres solides ... ? C'est une question que je me suis toujours posée.
Pourquoi cherchent-elles systématiquement à minimiser leurs surfaces ?

C'est peut-être hors sujet mais ça semble être en relation avec l'isopérimétrie ...

[Nightmare]

Tiens, pourquoi une bulle de savon est-elle presque toujours "sphérique" ?

A mon avis, ça c'est surtout une histoire de gaz et de pression uniforme sur la paroi.

Pourquoi les planètes peuvent-elles plus facilement être assimilées à des boules qu'à d'autres solides ... ? C'est une question que je me suis toujours posée.
Pourquoi cherchent-elles systématiquement à minimiser leurs surfaces ?

Là, je ne comprends pas la question. Qu'entends-tu par "plus facilement" et qui sont les "elles" dans "cherchent-elles"?

[Lostounet]

Bah les planètes: elles sont sphériques. Et pourtant, il n'y a pas de pression ? enfin la pression n'est-elle pas nulle dans l'espace?

[Nightmare]

Les planètes sont plus ou moins rondes du fait de la gravité qui à distance fixée agit de manière uniforme dans toutes les directions. Le fait que la planète tourne la fait s'aplatir aux pôles par force centrifuge et s'élargir à l'équateur, donc au final on a plus une ellipsoïde qu'une sphère.

[Lostounet]

La gravité ne peut-elle agir qu'uniformément dans toutes les directions? (J'ai toujours été nul en physique).

[Nightmare]

Oui, pourquoi, je ne sais pas.

Cependant, on a une [url="http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_la_gravitation_universelle"]formule[/url] pour calculer la force d'attraction d'un corps gravitationnel sur un autre, et dans cette formule, on voit qu'en dehors des masses, seule la distance intervient et non la position par rapport aux corps.

[Nightmare]

Par contre, je te préviens tout de suite, si tu comptes transformer cette conversation a priori mathématique en discussion physique, je vais me retirer, car j'aurais trop peur de te dire des bêtises (c'est peut être trop tard d'ailleurs).

Cependant, si un physicien à l'âme charitable (Skullkid? :D) veut venir apporter des correctifs à mes propos et/ou de plus amples informations, c'est avec plaisir que je les lirai.

[Lostounet]

Ouais bon, c'était juste une parenthèse :p

On peut recentrer le cadre.

[Nightmare]

D'ailleurs je profite de cette disgression pour poser la question : Quelqu'un connait-il une preuve physique du fait que le cercle soit l'aire maximale pour un périmètre donné?

J'adore les preuves physique des théorèmes mathématiques, comme celle de Pythagore que j'ai en tête. J'avais un e-bouquin là dessus, faudrait que je le retrouve.

[Lostounet]

D'ailleurs je profite de cette disgression pour poser la question : Quelqu'un connait-il une preuve physique du fait que le cercle soit l'aire maximale pour un périmètre donné?

J'adore les preuves physique des théorèmes mathématiques, comme celle de Pythagore que j'ai en tête. J'avais un e-bouquin là dessus, faudrait que je le retrouve.

Une fois j'ai vu dans mon lycée une maquette (faite par un élève de 4e pour son prof de maths pour "illustrer" le th. de Pythagore): il y avait un triangle rectangle, et deux cube remplis de sable correspondant aux côtés de l'angle droit (donc un cube au dessus de chaque côté), et une fois tu retournes la maquette, le sable remplit un troisième cube vide qui correspond à l'hypoténuse (pour montrer que a^2 + b^2 = c^2 mais en fait j'ai l'impression qu'il a plus voulu montrer que a^3 + b^3 = c^3)

Tout ça pour dire qu'une preuve physique de Pythagore m'intéresse ...

[Nightmare]

J'ai retrouvé le bouquin, il s'agit de [url="http://www.amazon.com/The-Mathematical-Mechanic-Physical-Reasoning/dp/0691140200"]celui-ci[/url].

Je l'ai upload [url="http://oron.com/xrcyzmha5jta"]ici[/url] pour les intéressés, j'enlève le lien avant de me coucher.