Périmètre et aires...

[Skullkid]

Par contre, je te préviens tout de suite, si tu comptes transformer cette conversation a priori mathématique en discussion physique, je vais me retirer, car j'aurais trop peur de te dire des bêtises (c'est peut être trop tard d'ailleurs).

Cependant, si un physicien à l'âme charitable (Skullkid? ) veut venir apporter des correctifs à mes propos et/ou de plus amples informations, c'est avec plaisir que je les lirai.

Je sais pas si je suis un physicien à l'âme charitable, mais je crois que j'ai une âme, tu devras te contenter de ça pour l'instant :p

Pour la bulle de savon, ça peut servir de constatation physique de l'inégalité isopérimétrique (je sais pas s'il en existe une preuve physique, mais je serais aussi très intéressé de la lire le cas échéant) : une fois formée, la bulle enferme un volume fixé d'air et va chercher à minimiser son énergie, qui se trouve être proportionnelle à sa surface (chercher "tension superficielle" pour plus d'infos). Donc la bulle veut minimiser sa surface tout en délimitant un volume constant. Étant fine mathématicienne, elle prend une forme sphérique, modulo les perturbations.

Pour la gravité et les planètes, rien à redire. On peut toutefois noter que la Terre a le bon goût d'accepter les irrégularités à sa surface (montagnes, crevasses, bâtiments, êtres humains, ...), ce qui n'est pas le cas de certains corps plus lourds et plus petits qui entendent bien garder une surface parfaitement lisse.

Merci pour le bouquin !

[Nightmare]

Et merci pour les explications!

[Kikoo <3 Bieber]

Cela m'intéresse beaucoup aussi

Je me demandais si en prenant l'aire d'un n-gone régulier et en faisant tendre le nombre de côtés vers l'infini avec néanmoins rayon constant on pouvait montrer que la limite de l'aire est celle d'un disque (évidence de l'esprit).

Ainsi, nous avons avec une application croissante de N sur R.
En faisant tendre n vers l'infini, on montre que l'aire d'un polygone régulier est majoré par car pour de petits angles nous avons l'approximation et ainsi

Nous montrons de même que le périmètre d'un n-gone est minoré par car le périmètre d'un n-gone est .
Donc cela répond à la problématique, je l'espère ! ^^

[Judoboy]

Cela m'intéresse beaucoup aussi

Je me demandais si en prenant l'aire d'un n-gone régulier et en faisant tendre le nombre de côtés vers l'infini avec néanmoins rayon constant on pouvait montrer que la limite de l'aire est celle d'un cercle (évidence de l'esprit).

Ainsi, nous avons avec une application croissante de N sur R.
En faisant tendre n vers l'infini, on montre que l'aire d'un polygone régulier est majoré par car pour de petits angles nous avons l'approximation et ainsi 2\pi\rho2n \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\rho[TEX].
Donc cela répond à la problématique, je l'espère ! ^^

Je quote avant que tu édit parce que ça a fait un truc marrant Latex là.

[Kikoo <3 Bieber]

Je quote avant que tu édit parce que ça a fait un truc marrant Latex là.

Pfff haha !

[Kikoo <3 Bieber]

Mais de toute façon, je ne traite que le cas des polygones réguliers, là :(

[Dlzlogic]

Bonjour,

Pour la gravité et les planètes, rien à redire. On peut toutefois noter que la Terre a le bon goût d'accepter les irrégularités à sa surface (montagnes, crevasses, bâtiments, êtres humains, ...), ce qui n'est pas le cas de certains corps plus lourds et plus petits qui entendent bien garder une surface parfaitement lisse.

Petite précision à la réponse de Skullkid.
La terre, comme toutes les planètes résulte de l'accumulation lente et continue de météorites plus ou moins grosses.
Avec la force centripète (la gravité), la pression, le centre de la terre est soumis à des pressions considérables, il en résulte les volcans, les tremblements de terre. Par ailleurs, il y a l'érosion sous toutes ces formes.
Toutes ces actions provoquent des déplacements de charge et des ruptures d'équilibre, montagnes et océans.
Cependant, l'équilibre de charge reste une loi physique inévitable. Le résultat que l'on constate est que la forme réelle de la terre n'est pas l'ellipsoïde que l'on connait, mais le géoïde. C'est la surface que l'on pourrait obtenir en prolongeant la surface des océans sous les terres fermes, à la nuance près que cette surface s'éloigne du centre de la terre sous les montagnes.
Sauf cas très localisé, ces "variations" n'ont pas d'influence sur les distance, pas contre l'impact en altitude peut être très important.

[Kikoo <3 Bieber]

Kikoo

Une petite question : pourquoi donc n'y a-t-il pas égalité stricte entre et dans cette inégalité ? ( est l'aire d'un n-gone régulier et son périmètre)

[Dlzlogic]

@Lostounet,

J'ai utilisé cela pour distinguer une zone de forme ramassée d'une zone de forme allongée. Dans mon cas c'était parfaitement subjectif, mais le résultat est 100% satisfaisant.
On sait que le périmètre d'une zone peut tendre vers l'infini, alors que tend vers une limite finie.

Je vais compléter mon explication.
Il est vrai que j'utilise les mathématiques à des fins bassement utilitaires, en l'occurrence et actuellement pour mes travaux en informatique.
Supposons que l'on ait déterminé une zone définie par une ligne polygonale fermée. Supposons aussi que tous les points de cette ligne sont connus en Z. On veut calculer le Z de n'importe quel point de cette zone. Un ne peut valablement faire cette opération que si le point à calculer est inscrit dans un triangle. Il y a naturellement un très grand nombre de façon de découper cette zone en triangle. La méthode sera différente si la zone est longitudinale ou au contraire de forme ramassée.
On peut trouver sur le net différentes formules qui portent toutes le nom de leur auteur, mais qui reviennent toutes au même principe. Personnellement, j'ai préféré l'inventer moi-même, mais j'ai oublié de la publier et donc de lui donner mon nom.

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

Je reviens pour demander à Nightmare s'il pouvait remettre le fichier qu'il avait mis en upload, car j'arrive plus à le retrouver ^^
Merci à lui, ou à tout autre intervenant qui pourrait m'indiquer la manière de me procurer ledit fichier (for free, bien entendu !) ;)

bonne nuit

[Luc]

Sinon, il y a un livre sur les inégalités isopérimétriques et leurs applications dans de multiples domaines écrit par des élèves de l'X (de ma promo! je fais un peu de pub) dans le cadre du projet scientifique collectif: http://www.editions.polytechnique.fr/?afficherfiche=166

- Quelle forme adopte un film de savon s’appuyant sur un contour donné ? (Physique, chimie)
- Quelles règles régissent la forme d’équilibre d’un cristal ? (cristallographie)
- En quoi les inégalités isopérimétriques peuvent-elles être déduites d’un problème d’allocation optimale de ressources ? (économie)
- En quoi les inégalités isopérimétriques permettent de formuler un algorithme de réduction de mots ? (informatique)
- Peut-on déduire la forme d’un tambour de la connaissance de ses harmoniques ? (mécanique, mathématiques appliquées)

Luc

[abacustrani]

Perimeter is the distance AROUND any particular object where area is the amount of space inside the object (2dimentional).
Let's say you have a yard 10 feet long, by 11 feet wide.
The perimeter is the distance AROUND your yard or 10+10+11+11 = 42ft
The AREA is the amount of space inside or L*W or 10*11 = 110ft^2
Suppose I change the dimensions of the yard without changing its perimeter (42 ft) and see what happens to the area. Suppose the length and width are 20ft and 1 ft respectively. The perimeter is still 20+1+20+1=42. The area however is 20X1 =20 ft2 Now if we take the yard to be a square one of 10.5 ft side then the perimeter still remains 42 ft. but the area becomes 110.25 ft2. Now suppose I assume that the perimeter of a circle is 42 ft. What will the area of such a circle be? Now we know that the circumference of a circle is 2x3.14(pi)Xr = 42 ft. Therefore r = 6.687 ft. r2= 44.715 ft2 therefore area of the circle is 4xpixr2= 561.63 ft 2. Thus we can deduce that given a known perimeter a circular shape has or occupies the largest area. What happens if the shape is irregular? Say a irregular polygon? Would my deduction that the cicrular shape has the largest area remain valid?