Passer par toutes les images ... entières

[gvauvert]

Bonjour, c'est mon premier message, j'espère que je suis au bon endroit.

Je cherche des pistes (ou la solution) pour résoudre mon problème:
On a un ensemble d'équations à valeurs entières: 1<=i<=n
ai * p + bi = q

Je cherche ( a ; b ) avec a maximal tq:
pour tout i, pour tout p, il existe p' tq:
a * p' + b = ai * p + bi

Autrement dit, je voudrais trouver la fonction dont l'ensemble des images entières contient toutes les images entières de mes n fonctions entières précédentes, avec un coefficient directeur maximal.
En effet, ( 1 ; 0 ) est une solution triviale, mais je voudrais que l'ensemble des images soit le plus petit possible.
Si tous les bi sont égaux, a = pgcd ( ai ) et b = bi, mais sinon ..?

Je ne sais pas si vous avez compris et si vous voyez comment aborder le machin. Ça sent le Bézout et le diophantien, mais je n'ai pas trop l'habitude de travailler dans ZZ ...

Merci !

[mathelot]

Bonjour, c'est mon premier message, j'espère que je suis au bon endroit.

Je cherche des pistes (ou la solution) pour résoudre mon problème:
On a un ensemble d'équations à valeurs entières: 1<=i<=n
ai * p + bi = q

Je cherche ( a ; b ) avec a maximal tq:
pour tout i, pour tout p, il existe p' tq:
a * p' + b = ai * p + bi

Autrement dit, je voudrais trouver la fonction dont l'ensemble des images entières contient toutes les images entières de mes n fonctions entières précédentes, avec un coefficient directeur maximal.
En effet, ( 1 ; 0 ) est une solution triviale, mais je voudrais que l'ensemble des images soit le plus petit possible.
Si tous les bi sont égaux, a = pgcd ( ai ) et b = bi, mais sinon ..?

Je ne sais pas si vous avez compris et si vous voyez comment aborder le machin. Ça sent le Bézout et le diophantien, mais je n'ai pas trop l'habitude de travailler dans ZZ ...

Merci !

est ce que tu as regardé les polynômes d'interpolation de Lagrange ?

[gvauvert]

est ce que tu as regardé les polynômes d'interpolation de Lagrange ?

Merci pour l'idée, mais je ne pense pas que cela s'applique, car le nombre de points générés par mes droites est infini et je cherche une fonction dont les images par des valeurs entières passent par toutes les images entières de mes fonctions sources.
Je vais donner un exemple pour que ce soit plus clair:
f1(p)=6p+5
f2(p)=10p+7

Donc, ma fonction doit fournir (au moins) les images suivantes:
5 7 11 17 23 27 29 35 37 41 47 ...
Il y a deux solutions:
f(p) = 2 p + 1
f(p) = p
Il y en a d'autres, mais elles n'apportent rien:
- f(p) = -2 p + 1 : comme p parcours ZZ, on ne retient que celles avec a>0
- toutes les fonctions avec k dans ZZ, f(p) = 2 p + 1 + 2 k et f(p) = p + k

Je retiens la fonction avec coefficient directeur "a" positif et maximal, et avec ordonnée à l'origine b positif et minimal (comme mes ai sont tous strictement positifs et bi positifs ou nuls, je pense que b positif n'est pas une restriction): f(p) = -2 p + 1