La parité de (Pn-1)/2

[MuZero]

Bonjour à toutes et à tous,

Alors voila, je programme un peu et surtout autour des nombres premier juste pour le plaisir et j'ai trouvé quelque chose d'intéressant :

Si je fais une liste des premiers nombres premiers et qu'ensuite je crée une liste d'érivée de celle ci ou le n-ième terme (An) correspond à An=(Pn-1)/2 ou Pn est le n-ième nombre premier, alors je constate que plus la liste est longue (donc tend vers l'infini) et plus le pourcentage de nombre pair et impair tend vers 50%.

J'en ai déduit: que quand n tend vers l'infini il y a 50% de nombres An pairs et 50% de nombres impairs.

D'ou ma question: existe t il un théorème ou une conjecture sur quelque chose de ce style la? Ou si quelqu'un pourrait me guider pour répondre à cette question.

Pour ma part je pense que ceci est vrai et montrerai un certain aléatoire dans les nombres premiers (ceci étant pure spéculation)
Je vous remercie d'avoir prit le temps de lire mon sujet en éspérant qu'une réponse se fera vite.

[zygomatique]

salut

p = 2k + 1 = 2(k + 1) - 1

k et k + 1 n'ont pas même parité


p = 4k + 1 = 2(2k) + 1

p = 4k + 3 = 2(2k + 1) + 1

2k et 2k + 1 n'ont pas même parité


p = 6k + 1 = 2(3k) + 1

p = 6k + 5 = 2(3k + 2) + 1

3k et 3k + 2 ont même parité

...

[MuZero]

Bonjour,

Je m'excuse mais je ne vois pas où vous voulez en venir.

[zygomatique]

k désigne un entier naturel

1/ mis à part 2 tout nombre premier est impair donc s'écrit 2k + 1 et 2(k + 1) - 1

or k et k + 1 n'ont pas même parité

donc pour les nombres premiers de la forme 2k + 1 A_k = k donc même parité
et les nombres premiers de la forme 2(k + 1) - 1 A_k = k + 1 a la parité contraire de k


2/ mis à part 2 tout nombre premier et impair donc s'écrit 4k + 1 = 2 (2k) + 1 ou 4k + 3 = 2(2k + 1) + 1

or 2k et 2k + 1 n'ont pas même parité

donc avec cette écriture il y a autant de A_n pairs (resp. impairs) que de nombres premiers de la forme 4n + 1 (resp. 4n + 3)


3/ mis à part 2 et 3 tout nombre premier s'écrit 6k + 1 = 2 (3k) + 1 ou 6k + 5 = 2 (3k + 2) + 1

or 3k et 3k + 2 ont même parité et 3k a la parité de k

donc pour les nombres premiers de la forme 6k + 1 alors A_k a même parité que k
et pour les nombres premiers de la forme 6k + 5 pour lesquels ont peur remarquer que 3k + 2 = 2(k + 1) + k a même parité que k c'est la même chose : A_k a même parité que k

...