Parallélogrammes et birapport

[LDU45]

Bonjour,

Le problème suivant correspond à une "intuition".
Il s'agit d'un problème de géométrie affine (pas de distance, pas d'angle).
Soit ABCD un parallélogramme et E un point de la diagonale AC. La parallèle à AD passant par E coupe le côté AB en F. La droite DE coupe la droite BC en G et la droite DF coupe la droite BC en H.
Montrer que AHGD est un parallélogramme.

Comment prouver que AHGD est un parallélogramme en utilisant les concepts les plus simples de la géométrie affine (parallèles, homothéties, ...) sans référence aux coordonnées ?
Démontrer ce résultat me permettra de prouver une propriété du birapport en géométrie projective.
Je sèche depuis mars . Merci pour votre aide.

[vam]

Bonjour



AE/AC=AF/AB=EF/BC (1)

mais aussi DE/DG=DF/DH=FE/GH (2)

.....(edit > je me suis plantée...)

donc (edit > donc la suite est à revoir)

[vam]

je retente

AE/AC=AF/AB=EF/BC (1)

mais aussi DE/DG=DF/DH=FE/GH (2)

de (1) : soit

de (2) : soit

mais

d'où les membres de droite sont égaux et BC=GH

et on a le parallélogramme...

vrai ou faux ?

[LDU45]

C'est vrai !
Merci beaucoup pour cette démonstration.
Je l'ai adaptée pour rester dans le cadre de la géométrie affine (pas de longueurs).
(1) devient : "le rapport de l'homothétie de centre A  qui envoie B sur F et C sur E est égal à 1 plus le rapport de l'homothétie de centre E qui envoie C sur A."
De même (2) devient : "le rapport de l'homothétie de centre D  qui envoie G sur E et H sur F est égal à 1 plus le rapport de l'homothétie de centre E qui envoie G sur D."
Comme c'est la même homothétie de centre E qui envoie C sur A et  sur D, l'homothétie de centre D qui envoie G sur E et H sur F et  l'homothétie de centre A qui envoie B sur F et C sur E ont le même rapport.
Il reste à trouver le point de passage entre ce résultat et "la translation qui envoie B sur C envoie aussi G sur H".
Mais c'est bien avancé.
Encore merci. 

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,
Thalès appliqué plusieurs fois montre que si alors ,
et . Comme , .

[LDU45]

Le problème que vous avez résolu (merci encore !) était une étape dans un problème plus global de géométrie projective.
Je m'explique :
Je suis engagé dans une "reconstruction" de la géométrie projective sans référence à un espace vectoriel mais utilisant quelques axiomes d'incidence complétés par l'axiome de Desargues et celui de Pappus (pour faire simple). Dans ce cadre, j'en suis arrivé à la formulation du birapport (l'invariant de la géométrie projective) que je ne peux bien sûr pas définir comme un rapport de rapports de mesures algébriques et que j'ai défini comme le rapport d'une homologie (que certains appellent aussi constante de l'homologie).
Le problème que vous avez résolu m'a permis de démontrer que [A,C,B,D] = 1- [A,B,C,D].
Passer par la géométrie affine et des homothéties en "envoyant à l'infini" l'axe des homologies m'a permis de simplifier la démonstration de cette égalité.

[GaBuZoMeu]

Connais-tu le livre "Algèbre géométrique" d'Emil Artin ? J'ai l'impression que ton programme correspond à ce qui est fait dans le deuxième chapitre de ce grand classique.
https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_Algebra_(book)

[LDU45]

Je connais ce livre.
C’est lui qui a inspiré une partie de ma démarche.
Dans le chapitre 2, E. Artin construit le corps des scalaires à partir des endorphismes de l’ensemble des translations et définit le rapport d’une homothétie f comme le scalaire qui à une translation t associe la translation tofot-1.
(C’est ce qui permet de donner un vrai fondement à la multiplication d’un vecteur par un scalaire).
Mais E.Artin opère dans le seul cadre de la géométrie affine (avec des parallèles) avec une axiomatique.
Et dans le paragraphe 10, il change de perspective avec des espaces vectoriels « We take over the ' and "lines" for terminology "points'
subspaces with projective dimension 0, respectively 1. Thus the lines of F
become the "points" of F and the planes of F become the "lines" of F. »
J’ai repris la même construction dans le cadre de la géométrie projective : les homothéties deviennent alors des homologues, les translations deviennent des élations.