par Ben314 » 09 Mai 2018, 22:50
Salut,
C'est relativement couillon (mais si on le sait pas...)
Quand tu écrit un nombre sous forme décimale, par exemple N=57 436, les chiffres 5, 7, 4, 3, 8 qui le composent, en fait ils signifient que N = 5x10 000 + 7 x1 000 + 4x100 + 3x10 + 6.
Or, une constatation bébète, c'est que 10-1 = 9 = 9x1 ; 100-1 = 99 = 9x11 ; 1 000-1 = 999 = 9x111 ... sont tous des multiples de 9 et que si on écrit
N= 5 x (9x1 111+1) + 7 x (9x111+1) + 4 x (9x11+1) + 3 x (9x1+1) + 6
N = 9 x ( 5x1 111 + 7x111 + 4x11 + 3x1 ) + 5 + 7 + 4 + 3 + 6
ben on constate que 57 438 et 5 + 7 + 4 + 3 + 6 = 25 diffèrent d'un multiple de 9 ce qui signifie qu'ils ont le même reste de division par 9. Et, si comme ici, où elle vaut 25, la somme des chiffre fait un nombre à plusieurs chiffres, on peut bien sûr recommencer en disant que le reste de la division de 25 par 9, c'est le même que celui de 2+5=7 par 9, donc c'est 7.
Bilan : le reste de la division de 57 436 par 9 est 7.
Bref, l'opération consistant à faire la somme des chiffres d'un nombre puis recommencer si le résultat obtenu contient plus de 2 chiffres, ben au final, ça donne le reste de la division par 9 (sauf le cas particulier où le nombre est divisible par 9 où ça donné évidement 9 et pas 0). C'est cette propriété qui est la clef de ce qu'on appelle "la preuve par 9" et qui était enseignée dans le temps dés le primaire.
Pour en revenir à ton problème, vu que tu prend les nombres 3 par 3 en commençant à 0, c'est que le premier des 3 c'est toujours un multiple de 3, donc de la forme 3k (avec k entier naturel).
Donc la somme des 3, c'est 3k+(3k+1)+(3k+2) = 9k+3 qui, évidement, a 3 comme reste de division par 3.
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Ben314 le 09 Mai 2018, 22:57, modifié 5 fois.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius