Notions elementaires

par **Anonyme** » 18 Avr 2009, 16:56

Bonjours,

Il y quelques jours je me suis amuse a remettre en cause des notions élémentaires en géométrie qu'on utilise des le collège sans pourtant savoir les démonter en vain .

Je me demandais par exemple pourquoi dans un triangle :

1- la sommes des angles est égale a 180 degrés

2- pourquoi toujours dans un triangle les médianes/bissectrices/médiatrices/hauteurs concourent en un même point

y en a d'autres mais commençons au moins par cela

Merci

par **nuage** » 18 Avr 2009, 22:17

Salut,

la sommes des angles est égale a 180 degrés

C'est une conséquence du 5° postulat d'Euclide
>.La formulation d'origine est plus compliquée
Si on ne l'accepte pas la propriété est fausse et on a les géométrie dites non-euclidiennes.

pourquoi toujours dans un triangle les médianes/bissectrices/médiatrices/hauteurs concourent en un même point

Il y a 15 ans j'enseignais en collège et je le démontrais à mes élèves (dans le cadre de la géométrie euclidienne).
Si tu veux voir une démonstration, demande, je pense que de nombreuses personnes pourront te répondre.

PS : je crois que tes questions sont de très bonnes questions.

A+

par **Anonyme** » 19 Avr 2009, 09:40

merci pour avoir pris le temps d'y répondre

pour ce qui est de ma première question en faite j'ai réussi a la démontrer avec les angles alterne-interne mais je la jugeait trop simple alors si je demande c'est pour savoir comment elle a été démontré par le passe,comment Euclide l'avait démonter..

Il y a 15 ans j'enseignais en collège et je le démontrais à mes élèves (dans le cadre de la géométrie euclidienne). Si tu veux voir une démonstration, demande, je pense que de nombreuses personnes pourront te répondre

Dommage qu'au collège on nous ai pas démontrer cela , pourtant ce sont ses démonstration qui rendent les maths passionnantes. Si ça ne te dérange pas pourrais-tu me faire la démonstration. Personnellement je pensais démontrer cela avec les équation de droites mais faute de temps j'ai pas pu le faire. Mais si tu me propose une démonstration sans mettre le triangle dans une repere je prend volontaire

est que quand tu enseignait tu demontrais beaucoup de propriete a tes eleves dans ce genre ... Si oui etais-tu le seul ?

par **Ericovitchi** » 19 Avr 2009, 16:14

Euclide l'avait démontré par les angles alterne interne. C'est vraiment ce qu'il y a de plus simple.
Tu devrais nous démontrer Pytagore puisque tu sembles avoir envie de remonter aux Grec. Il y a une bonne dizaine de démonstrations.

par **Zweig** » 19 Avr 2009, 16:42

Salut Qmath,

1- la sommes des angles est égale a 180 degrés

Ca se fait très rapidement avec les angles orientés :

par **Zweig** » 19 Avr 2009, 16:43

Pourquoi ça ne veut pas afficher les vecteurs ? :marteau: :marteau: :marteau:

par **Joker62** » 19 Avr 2009, 16:57

Essai
Parce que la commande c'est vec

par **Imod** » 19 Avr 2009, 17:15

Pour les médiatrices concourantes , c'est une simple conséquence de l'équidistance des points de la médiatrice aux extrémités du segment .

Imod

par **Anonyme** » 19 Avr 2009, 18:01

Imod a écrit:Pour les médiatrices concourantes , c'est une simple conséquence de l'équidistance des points de la médiatrice aux extrémités du segment .

Imod

oui bonne idée il faut commencer par démontrer que tout triangle peut être inscrit dans un cercle, je pense qu'on peut démontrer en utilisant que la somme des angles dans un triangle est égale a 180 degré et que un angle inscrit dans un cercle vaut la moitie de l'arc qu'il intercepte. En utilisant ces 2 propriétés on trouve un arc de 360 degré ce qui constitue un cercle.
et puis on continu comme tu l'a dit . Est ce bon ou y aurait-il une meilleure façon pour démontrer que tout triangle est inscrit dans un cercle

Donc a priori pour les médiatrice le problème est résolu ( si quelqu'un a une autre solution je serais ravis de la voir... n'hésitez pas) reste les hauteur, médianes et bissectrices

Zweig a écrit:Ca se fait très rapidement avec les angles orientés : \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C} =\left( \overrightarrow {AB} \,;\, \overrightarrow{AC}\right)+\left( \overrightarrow{BA}\,;\, \overrightarrow{BC} \right)+\left( \overrightarrow{CB}\,;\, \overrightarrow{CA} \right) =\left(\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{AC} \right)+\left(\overrightarrow{BA}\,;\,\overrightar row{CB}\right)+\pi+\left(\overrightarrow{CB}\,;\,\ overrightarrow{CA}\right) =\left(\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{AC} \right)+\left(\overrightarrow{BA}\,;\,\overrightar row{CA}\right)+\pi =\pi

peut etre tu t'es trompe de balise ... une démonstration avec les vecteur je prends meme si je pense pas que les vecteurs existait a cette époque :langue2:

Ericovitchi a écrit:Euclide l'avait démontré par les angles alterne interne. C'est vraiment ce qu'il y a de plus simple. Tu devrais nous démontrer Pythagore puisque tu sembles avoir envie de remonter aux Grec. Il y a une bonne dizaine de démonstrations.

Merci pour la confirmation
Pythagore est sur ma liste j'y arriverai quand je terminerai de ces propriétés que je juge plus élémentaire, j'ai déjà démontré Thalès
une dizaines de démonstration pourrais-tu faire une petite liste

mais j'aimerais tout d'abords démontrer pourquoi dans un triangle les bissectrices, médianes , hauteur concourent toujours en un même point

par **Zweig** » 19 Avr 2009, 18:48

J'ai modifié.

Pour montrer l'intersection de ces droites, peut être en utilisant le théorème de Céva, voire les barycentres ?

par **Anonyme** » 19 Avr 2009, 19:09

Zweig a écrit:J'ai modifié.

Pour montrer l'intersection de ces droites, peut être en utilisant le théorème de Céva, voire les barycentres ?

je suis en seconde donc ces theoreme je ne connais pas
J'ai pas compris ta demonstration avec les vecteur je crois que c'est du programme du bac j'essayerai de voir ca en tout cas

merci en tout cas

par **Zweig** » 19 Avr 2009, 19:15

Salut,

Ce sont les "angles orientés". On voit ça en 1°S (en France). Ce n'est pas bien compliqué : http://pagesperso-orange.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/CoursP_fichiers/angrot.pdf, idem pour les barycentres : http://pagesperso-orange.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/CoursP_fichiers/bary.pdf

par **Anonyme** » 19 Avr 2009, 19:30

Merci

Je viens de comprendre la demonstration tres utiles ces angles oriente

maintenant je m'interesse a la facon dont Euclide a demontre:

2- pourquoi toujours dans un triangle les médianes/bissectrices/médiatrices/hauteurs concourent en un même point

Edit :reponse trouve

par **Imod** » 19 Avr 2009, 19:30

Qmath a écrit:oui bonne idée il faut commencer par démontrer que tout triangle peut être inscrit dans un cercle, je pense qu'on peut démontrer en utilisant que la somme des angles dans un triangle est égale a 180 degré et que un angle inscrit dans un cercle vaut la moitie de l'arc qu'il intercepte. En utilisant ces 2 propriétés on trouve un arc de 360 degré ce qui constitue un cercle.
et puis on continu comme tu l'a dit . Est ce bon ou y aurait-il une meilleure façon pour démontrer que tout triangle est inscrit dans un cercle

Donc a priori pour les médiatrice le problème est résolu ( si quelqu'un a une autre solution je serais ravis de la voir... n'hésitez pas)

Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué :zen:

On considère un triangle ABC et on suppose connu le fait que tout point d'une médiatrice est équidistant aux extrémités du segment . On note O le point d'intersection des médiatrices de [AB] et [BC] ( il existe car (AB) et (BC) ne sont pas parallèles donc leurs médiatrices non plus ) . O est équidistant de A , B et C et c'est fini .

Imod

par **Anonyme** » 19 Avr 2009, 19:38

Imod a écrit:Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué :zen:

C'est tout a fait moi , je cherche toujours le plus complique :zen:

Imod a écrit:
On considère un triangle ABC et on suppose connu le fait que tout point d'une médiatrice est équidistant aux extrémités du segment . On note O le point d'intersection des médiatrices de [AB] et [BC] ( il existe car (AB) et (BC) ne sont pas parallèles donc leurs médiatrices non plus ) . O est équidistant de A , B et C et c'est fini .

Imod

Tout simplement

reste les medianes/bissectrices/hauteur

par **Imod** » 19 Avr 2009, 19:44

Pour les hauteurs , une démonstration très simple que je faisais autrefois avec mes quatrièmes .

On considère les trois hauteurs HA HB et HC d'un triangle ABC . Par les trois sommets de ABC , on trace les parallèles aux côtés opposés . Il apparaît alors une multitude de parallélogrammes et un triangle T dont HA , HB et HC sont les médiatrices .

Imod

par **Anonyme** » 19 Avr 2009, 19:50

Imod a écrit:Pour les hauteurs , une démonstration très simple que je faisais autrefois avec mes quatrièmes .

On considère les trois hauteurs HA HB et HC d'un triangle ABC . Par les trois sommets de ABC , on trace les parallèles aux côtés opposés . Il apparaît alors une multitude de parallélogrammes et un triangle T dont HA , HB et HC sont les médiatrices .

Imod

oui mais en utilisant le point commun H des le debut tu admet que les hauteurs concourent en un meme point sans l'avoir demontre

pourrais tu faire une figure si ce n'est pas trop te demander

edit : ça y est c'est bon , merci tres belle démonstration

par **Anonyme** » 20 Avr 2009, 17:42

Le centre du cercle inscrit est aussi très facile a démontrer on utilise surtout le fait que tout point qui appartient a la bissectrice d'un angle est équidistant au cotes qui forment l'angle.

reste plus que le centre de gravite...

je cherche aussi d'autre théorème , propriété a démontrer a part Pythagore je ne trouve rien j'aimerai que quelqu'un me donne des idée sachant que je suis en seconde

une question : En maths est ce qu'on considère toute réciproque d'un théorème vrai à moins qu'on lui trouve un contre exemple, ou l'on considère fausse jusqu'à ce qu'elle soit démontrer ?

merci

par **Anonyme** » 21 Avr 2009, 16:12

Up

Encore un petit effort

par **Ericovitchi** » 21 Avr 2009, 17:19

Alors si tu veux des trucs de géométrie à démonter, c'est pas ça qui manque :

Figures toi que ton centre de gravité G, point de concours des hauteurs H et centre du cercle circonscrit O sont alignés et en plus G est au 1/3 de OH en partant de O. La droite s'appelle la droite d'Euler.
les 9 point qui sont les pieds des hauteurs, medianes, ainsi que les milieux des segments qui joignent les sommets à l'hortocentre sont cocycliques (cercle des 9 points).

Il y a plein d'autres points remarquables dans un triangle. Si tu es curieux je te laisse chercher ce que sont les points de Gergonne, Fermat, Lemoine ...

Personnellement j'ai un faible pour la droite de Simson (un point du cercle circonscrit se projette sur les 3 cotés en 3 points alignés). Quand le point tourne sur le cercle, la droite de Simpson enveloppe une belle Deltoïde de Steiner (hypocycloide à 3 rebroussements). Le cercle des 9 points déjà cité est inscrit dans la deltoïde et a le même centre. Les cotés du triangles sont tangents à la Deltoïde. l'aire de la Deltoïde est égale à la moitié de celle du cercle circonscrit.

Si on construit sur les 3 cotés d'un triangle 3 triangles équilatéraux de manière externe, les centres de gravité de ces triangles équilatéraux forment un triangle équilatéral (théorème de napoléon).

entre le cercle inscrit et circonscrit il y a la relation

L'histoire du triangle de Morley est aussi une histoire extraordinaire.

Voilà toujours ça, ça risque de t'occuper un moment.

PS. mais si tu es en seconde, un gros bravo et tout mes encouragements pour t'intéresser à tout ça. C'est si rare de nos jours.

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