Notion algébrique cachée dans un exercice

[Nightmare]

Hello,

j'ai un exercice à étudier, et je dois avouer ne pas parvenir du tout à en saisir le fond.

L'exercice consiste globalement pour des élèves de 12/13 ans à partir d'une séquence de 5 nombres, à essayer de les arranger de sorte à ce qu'en créant une sorte de "triangle de pascal" à l'aide de ces 5 nombres, ils arrivent à dépasser une valeur seuil fixée à l'avance.

Exemple : Le prof donne comme 5 nombres initiaux les nombres 1, 2 , 3 , 4 et 5 et annonce qu'il faut dépasser 50.

Un élève peu proposer :

1
..... 4
3 .......... 9
..... 5 ............20
2 ..........11 .............46 < 50 perdu.
..... 6 ............26
4 ......... 15
..... 9
5

Ma question est simple : Quelle est la notion algébrique travaillée par cet exercice? (L'exercice s'effectue à l'aide d'un tableur).

Qu'en pensez-vous?
:happy3:

[leon1789]

Pour l'instant, je ne sais pas quelle est cette notion, mais pour arriver au seuil maximum, j'ai l'impression qu'il faut placer les nombres "faibles" à l'extérieur (histoire qu'ils comptent moins), et le nombre "forts" au milieu (pour qu'ils comptent davantage).



1
..... 4
3 .......... 12
..... 8 ............29
5 ..........17 .............61 > 50 gagné.
..... 9 ............32
4 ......... 15
..... 6
2

[leon1789]

en partant des nombres , le résultat obtenu est .

[fatal_error]

salut,

ben pour ma part, je pense que la notion se rapproche de la priorité des opérations.
La première réflexion que je me suis faite étant:

"il n'y a que des additions donc qqsoient les nombres de départ la somme sera toujours la même."

[MacManus]

Pour l'instant, je ne sais pas quelle est cette notion, mais pour arriver au seuil maximum, j'ai l'impression qu'il faut placer les nombres "faibles" à l'extérieur (histoire qu'ils comptent moins), et le nombre "forts" au milieu (pour qu'ils comptent davantage).



1
..... 4
3 .......... 12
..... 8 ............29
5 ..........17 .............61 > 50 gagné.
..... 9 ............32
4 ......... 15
..... 6

2

oui je rejoins l'idée de léon

1
..... 5
4 .......... 14
..... 9 ............31
5 ..........17 .............61 > 50 gagné.
..... 8 ............30
3 ......... 13
..... 5
2

[leon1789]

Peut-être que c'est la notion de moyenne pondérée ?

[Nightmare]

Fatal_error > J'ai eu le même réflexe, mais en essayant un coup on voit vite que la valeur finale est pondérée par la place qu'occupent les valeurs dans la séquence de départ comme l'ont souligné leon et Macmanus.

Ma première idée de notion travaillée par l'exercice serait celle de "réarrangement", mais ça ne saurait être une notion algébrique à part entière, en tout cas pas aux programmes de 5ème/6ème.

Par contre, après lecture de ces programmes ([url="http://media.education.gouv.fr/file/special_6/52/5/Programme_math_33525.pdf"]ici[/url]), il apparaît une connaissance intitulée "Représentation et
traitement de données" qui semble être une catégorie dans laquelle l'exercice pourrait rentrer, le problème est que ce n'est pas vraiment une "notion algébrique".

Vous allez me dire que l'exercice (ie l'énoncé + l'utilisation du tableur) n'est pas nécessairement un exercice d'algèbre, mais il m'est donné dans le cadre d'un examen de didactique d'algèbre et c'est l'énoncé lui-même qui me demande de le situer au sein d'une notion algébrique.

Voici l'énoncé pour ceux à qui ça parlerait plus que mon résumé :

[fatal_error]

pour moi c'est la distributivité.

on a envie de prendre un nombre et de compter son nombre d'occurrence par la suite. Cqui se traduit par
(1+2)+(2+3)+(3+4)...
+
[ (1+2)+(2+3) ] + [ (2+3)+(3+4) ]

et compter par exemple le nombre de fois qu'il y a un deux.

edit: en fait ca doit pas etre ca on voit rien de la sorte avec le tableur (enfin moi ca mevoque pas ca le tableur)

[Doraki]

12/13 ans c'est 5ème/4ème ?
J'aurais bien dit les expressions algébriques et l'abstraction. Le but est d'arriver à voir que la valeur de la fin = 1*machin + 4*truc + 6*bidule + ...
Le tableur encourage à faire varier les valeurs initiales pour faire abstraction des nombres qui y sont et de mettre des variables à leur place.
Ce qui se trouve dans la dernière case est bien un truc qui dépend des trucs du début et ils peuvent bien explorer les dépendences.

Une fois que tu obtiens la formule il reste à se convaincre qu'il faut mettre les plus gros nombres sur les trucs avec un plus gros poids, ce qui je pense est moins difficile que l'abstraction à faire.

[Nightmare]

Salut Doraki,

je suis plutôt d'accord dans le fond, bien que "l'abstraction" en tant que notion algébrique, ça paraît étrange, mais ce qui me dérange surtout, c'est l'utilisation du tableur qui me laisse penser qu'au contraire, il masque toutes les notions algébriques qui pourraient se cacher dans l'exercice.

Déjà, je me demande à quel moment l'élève commence à "faire de l'algèbre" dans l'exercice. Lors de la confection du tableau, il va écrire Bi=Ai+A(i+1) et il va tirer, ce qui l'empêche d'avoir un premier aperçu du calcul qui mène à la case final.
Une fois la feuille créée, l'énoncé l'incite à la tester sur des valeurs, méthode essai/erreur. C'est à ce moment de la séance qu'il commence à élaborer ou au moins déceler les stratégies.
Le nombre de valeurs initiales étant faible et le tableur facilitant beaucoup les calculs, l'élève commencera vite à constater l'histoire des poids, sans la comprendre algébriquement a priori, puisqu'à ce stade là, il n'a toujours pas exploré le calcul algébrique menant à la cellule finale.
Comme a priori, on ne s'attend pas à ce que l'élève donne une preuve de la stratégie, je vois vraiment mal le moment où il passe dans un registre purement algébrique.

[Doraki]

Comme a priori, on ne s'attend pas à ce que l'élève donne une preuve de la stratégie, je vois vraiment mal le moment où il passe dans un registre purement algébrique.

Ah bon.

[Nightmare]

C'est pas écrit, c'est une supposition basée sur le fait que :

1) Dans l' "exemple 1", il était aussi question de tableur et de propriété algébrique (l'identité de Bezout), la preuve n'était évidemment pas demandée. Cela dit, c'était écrit explicitement

2) La preuve dépasse le cadre du programme du collège.

C'est une séance de découverte, où les élèves et le prof discutent, il y a des phases de synthèse, où chacun propose sa stratégie et ce qui l'a conduit à l'élaborer, mais pas de phase d'institutionnalisation, c'est à dire que le prof ne transforme pas les connaissances émanant de la séance en savoir scolaire. En particulier, il n'y a donc pas formalisation des stratégies a priori, donc pas de preuve algébrique.

[Skullkid]

Salut, dans les autres analyses de ce type que tu as pu faire pour ton cours, elles sont de quel genre les "notions algébriques" impliquées ? Je ne peux m'empêcher de trouver l'appellation un peu floue... A priori, à la question 1, j'aurais répondu la réduction d'une écriture algébrique (dans le sens du fameux "développer, réduire et ordonner"), et le lien entre une écriture algébrique d'un nombre et un algorithme de calcul de ce nombre. Par exemple quand on écrit 3(a+b), l'algorithme sous-jacent c'est "j'additionne a et b et je multiplie le tout par 3", alors qu'en écrivant 3a+3b c'est "je multiplie a par 3 d'un côté, je multiplie b par 3 de l'autre et j'ajoute les deux résultats".

Ici l'exercice fournit un algorithme de calcul et apparemment on incite l'élève à traduire cet algorithme en formule algébrique, puis à réduire la formule algébrique pour obtenir un algorithme de calcul plus simple et plus rapide : on passe de "je dessine mon triangle et je remplis les cases une par une" à "je multiplie le plus grand nombre par 6, les deux suivants par 4, les deux derniers par 1 et j'additionne le tout". Je pense comme Doraki que l'établissement de cette formule est à la portée des élèves. Après, ils n'ont pas les moyens de prouver parfaitement l'optimalité de leur stratégie, mais la formule simplifiée rend le phénomène de pondération beaucoup plus visible.

[Nightmare]

Salut Skullkid,

pour ta première question, ça peut être précis comme vague, une notion algébrique pouvant être la factorisation comme la notion de formule ou la notion d'égalité en tant que relation d'équivalence.

Concernant ton analyse qui recoupe celle de Doraki, ce qui me dérange c'est votre assurance que les élèves vont introduire des expressions littérales. Le passage du numérique à l'algébrique c'est introduit en 4ème, à la vue du programme mis en lien plus haut, et en venant de dire ça, je me demande si ce n'est pas justement cette notion qui est attendue comme réponse?

[Skullkid]

Concernant ton analyse qui recoupe celle de Doraki, ce qui me dérange c'est votre assurance que les élèves vont introduire des expressions littérales. Le passage du numérique à l'algébrique c'est introduit en 4ème, à la vue du programme mis en lien plus haut, et en venant de dire ça, je me demande si ce n'est pas justement cette notion qui est attendue comme réponse?

C'est bien possible, auquel cas je pense que ça correspond grosso modo à ce que Doraki appelait "abstraction". J'ai évidemment du mal à "désapprendre" la relation entre numérique et algébrique pour me mettre dans la peau des élèves, mais on peut quand même supposer qu'ils sont capables de produire un petit texte qui décrive la méthode à laquelle ils sont arrivés pour trouver la valeur maximale ("classer les nombres par ordre croissant, multiplier le plus grand nombre par 6, etc"). Pour arriver à ça ils n'ont pas besoin de poser les écritures algébriques, ils peuvent faire un dessin genre arbre et compter le nombre de fois qu'apparaît chacun des nombres de départ dans le résultat (et alors le tableur servirait uniquement à explorer les dépendances comme l'a suggéré Doraki).

[Nightmare]

Mais vont-ils faire le lien entre la position des valeurs dans la séquence et un potentiel poids numérique dans une formule?

Ok, l'élève se rend compte qu'aux extrémités ça compte moins qu'au milieu, mais va-t-il nécessairement faire le lien avec une quantité d'occurrence dans la somme finale?

Ca question rejoint mon questionnement sur le passage numérique -> algèbre.

J'ai bien la conviction que c'est ce changement de registre qui est travaillé, ça nous fait même travailler nous...

[beagle]

Je reçois un mail à l'instant d'Elerinna qui vous soumet ce petit problème:
Nightmare pose un problème de didactique des mathématiques.
Combien de personnes peuvent lui répondre?

[beagle]

Sinon je suis d'accord avec tout le monde.
Je suis d'acc avec Doraki et Skullkid.
je suis d'acc avec Night:
"Le passage du numérique à l'algébrique c'est introduit en 4ème, à la vue du programme mis en lien plus haut, et en venant de dire ça, je me demande si ce n'est pas justement cette notion qui est attendue comme réponse?"
I agree!

Tout d'abord quel est l'apport du tableur;
1)apports positifs:
-permettre un grand nombre de solutions, permettre d'analyser un grand nombre de solutions.
Avoir rapidos un répertoire de soultions les plus basses et les plus hautes.
Donc on peut assez vite examiner et intuiter qui est où.
-permettre lors de l'élaboration du tableur déjà le passage du numérique à l'algébrique.
peut-ètre, mais alors là comme je n'y connais rien je passe

2)apports négatifs:
-le tableur si c'est la représentation en escalier donné dans l'énoncé est une horreur absolue,
une gène à la compréhension,
par exemple de la notion de symétrie,
notion de symétrie que l'on peut intuiter dès la représentation en pyramide que Night tu proposes,
et qui perso me séduit.

3)apport neutre:
cet exo marche très bien sans informatique
QS message à suivre

[beagle]

L'exo sans informatique.
On forme des groupes .
Chaque groupe fait ses essais avec le 1,2,3,4,5.
chaque groupe note ses solutions les plus basses trouvées, les plus hautes trouvées.

ensuite il est demandé à chaque groupe sa + haute, sa plus basse

ensuite on demande à chaque groupe son idée sur pourquoi c'est haut ou bas
(un pourquoi pas de démonstration, mais un : c'est quand on met ceci ou cela là que ceci cela ...)

On refait idem avec une deuxième liste de 5 nombres non consécutifs,..

Passage du numérique à l'abstractif algébrique à suivre!

[Skullkid]

Mais vont-ils faire le lien entre la position des valeurs dans la séquence et un potentiel poids numérique dans une formule?

On pourrait imaginer la démarche suivante (quant à savoir si l'élève la suivra "naturellement", ça...) :

- Je pars de 5 nombres de départ
- Avec le tableur, je me convaincs qu'en changeant la position des nombres de départ, ça change le résultat
- En augmentant de 1 le premier nombre de départ, je constante que le résultat augmente de 1
- En augmentant de 1 le deuxième nombre de départ, je constante que le résultat augmente de 4
- En continuant de la sorte avec tous les nombres, je me rends compte de l'effet de pondération, j'en déduis la stratégie gagnante et le résultat maximal

On peut aussi imaginer que, remarquant qu'il n'y a que des additions, en mettant tous les nombres de départ à 0 sauf un, l'élève peut construire un tableau de proportionnalité qui lui rendra plus évidente la pondération.

Au final on se rapproche peut-être tout simplement de la notion de fonction (même si c'est à plusieurs variables...) qui bizarrement apparaît dans certains titres dans le programme que tu as cité, mais pas dans le détails des notions. Je note aussi que les "expressions littérales" font partie du programme de 5ème, donc c'est peut-être pas si impossible que ça qu'ils arrivent à en produire une.