Nombres premiers, polynômes quadratiques

[lapras]

Bonsoir,
Sait-on si il existe un polynome P de degré 2 dont les coefficients sont entiers premiers entre eux dans leur ensemble et tel que P(x) n'est jamais premier pour x entier ?

Lapras

[ffpower]

P(n)=n² ?

[lapras]

Oups. Discriminant de P strict négatif imposé.

[Doraki]

P(n) = 3n²+n ?

[lapras]

Euh le discriminant de 3n^2 + n ca ne serait pas 1 > 0 ?

[Doraki]

Ah oui pardon.

P(n) = n²+n+4 alors.

[lapras]

Ok. Maintenant je considere les polynomes qui ne prennent pas de valeurs multiples de 2 (facile à caractériser...).

[Doraki]

Ah ben maintenant la question est intéressante.
Je réfléchirai demain.

[ffpower]

Si je récapitule: faut trouver P(n)=an²+bn+c avec a,b,c entiers premiers entre eux, b²-4ac<0, tel que pour tout n, P(n) soit impair et non premier?

[lapras]

Exact. Mais à mon avis P n'existe pas. C'est en quelque sorte une extension du th de dirichlet sur les suites arithmétique.

[Doraki]

Je suis pas sûr qu'on connaisse la réponse à la question.

Ca revient à trouver des progressions arithmétiques dans l'anneau des entiers de Q(sqrt(-d)) qui ne contiennent pas d'éléments de norme p donc de générateurs d'idéaux premiers principaux et non réels.

Si une progression en contient un nombre fini alors en élargissant le pas on peut tous les éviter donc ça se ramène à en chercher une qui en contienne un nombre fini.

Par exemple pour Q(i), on ne sait pas si il y a une infinité de nombres premiers de la forme (n+i), c'est à dire qu'on ne sait pas si P(n)=n²+1 prend un nombre fini de valeurs premières ou pas.
Si oui alors avec k assez grand, P(n) = k²n²+1 convient.

Mais on s'attend plutôt que toutes les progressions arithmétiques (avec coefficients premiers entre eux bien sûr) contiennent une infinité de nombre premiers.
Après tout, un premier p de Z a 1 chance sur 2h de se décomposer en produit d'idéaux principaux, où h est le nombre de classes de Q(sqrt(-d)), puis ensuite il a O(1/p) chances de tomber sur un point de la progression arithmétique.
Or comme la somme des 1/p diverge, ça laisse penser qu'une progression arithmétique risque d'en contenir une infinité.