Nombres irrationnels

[Johannbertrand]

Bonjour ! Faites que je me couche moins bête !
Sachant qu'un nombre irrationnel a une infinité de décimales, est ce possible qu'un chiffre ne s'y trouve pas ? Comment le prouver ?
Merci de vos réponses !!

[Idriss]

Bonjour,

1/ Tous les nombres réels ont une infinité de décimale :
par exemple : 1=1.00000....

2/ Existe-t-il un nombre qui ne soit pas irrationnel ?
Oui, un rationnel, par exemple 1

3/ Existe-t-il un nombre qui ne soit ni rationnel, ni irrationnel ?
Oui, le nombre imaginaire i, tel que i^2=-1

4/ Existe-t-il un nombre qui ne soit pas un complexe ?
Oui, l’hamiltonien j

5/ Existe-t-il un nombre qui ne soit pas un hamiltonien ?
Si tu fais des maths tu pourras compléter cette petite histoire...

[lyceen95]

Il y a des nombres irrationnels qui sont le résultat d'un 'calcul' : Pi , racine(2), ln(2) ...
Mais il y a aussi des nombres irrationnels qui sont des constructions.

Les premiers ne sont pas dépendants de la base (base décimale, celle qu'on utilise au quotidien, mais que les ordinateurs ne connaissent pas, ils comptent en base 2).

Les nombres irrationnels qu'on construit sont souvent très dépendants de la base de travail (base 10).
Exemple de nombre irrationnel , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 18 19 20 21 ... ...
J'ai mis des espaces pour la lisibilité : on commence par 0 virgule ... et on enchaine tous les entiers les uns derrière les autres.

Autre exemple de nombre irrationnel construit : 0,2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 ...

Pour répondre à ta question, au lieu d'enchainer tous les entiers les uns derrière les autres, on peut enchainer tous les entiers, mais en supprimant tous les chiffres 1 par exemple :
0,2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 20 2 22 23 24 25 26 etc etc ...
ou encore enchainer tous les entiers les uns derrière les autres, en supprimant tous les entiers qui contiennent le chiffre 1 :
0, 2 3 4 5 6 7 8 9 20 22 23 24 25 26 27 28 29 30 32 etc etc
Ces 2 nombres sont irrationnels (je te laisse le démontrer ...), et ces 2 nombres ne contiennent pas le chiffre 1 quand on les écrit en base décimale.

[GaBuZoMeu]

Je cite le début de la page wikipedia sur les nombres normaux :

En mathématiques, un nombre normal en base 10 est un nombre réel tel que dans la suite de ses décimales, toute suite finie de décimales consécutives (ou séquence) apparaît avec la même fréquence limite que n'importe laquelle des séquences de même longueur1. Par exemple, la séquence 1789 y apparaît avec une fréquence limite 1/10 000. Émile Borel les a ainsi nommés lors de sa démonstration que presque tout réel possède cette propriété.

Un nombre où un chiffre (par exemple le chiffre 1) n'apparaît pas parmi les décimales n'est donc pas normal. Par exemple le nombre fabriqué par lycéen95 n'est pas normal.
Un nombre rationnel n'est pas normal. On pourrait avoir l'impression qu'il y a beaucoup de nombres "anormaux", mais justement Èmile Borel a démontré que l'ensemble des nombres anormaux est de mesure (au sens de Lebesgue) nulle.
Les nombres irrationnels courants sont-ils normaux ? Ils en ont l'air, aucun des tests faits sur leurs décimales (et on en connaît beaucoup) ne contredit leur normalité. Mais on n'a aucune démonstration jusqu'à présent de cette normalité (on peut trouver sur la toile quelques charlatans qui prétendent savoir le démontrer, mais bon ...). On ne sait même pas démontrer par exemple que le développement décimal de contient une infinité de 1.

On peut fabriquer explicitement des nombres transcendants (pas solution d'équation algébrique non triviale à coefficients entiers) qui ne sont pas normaux, par exemple des nombres dont le développement décimal ne comprend que des 0 ou des 1. Un exemple est le nombre qui est un nombre de Liouville.

[nodgim]

Sinon, pour répondre plus précisément à la question posée, on construit facilement un nombre irrationnel avec seulement les chiffres 0 et 1 par exemple. C'est à dire avec 8 chiffres manquants.

[GaBuZoMeu]

Oui, j'en ai donné un exemple qui est non seulement irrationnel, mais même transcendant, dans le dernier paragraphe de mon message, juste au-dessus.