Nombres infinis

[dodge]

Bonjour,

Par simple curiosité, peut-on m'expliquer pourquoi l'infini sur l'infini n'est pas égal à 1 ?
Merci.

[Nightmare]

Salut,

qu'est-ce que tu appelles l'infini et que voudrait dire diviser l'infini par l'infini?

[ampholyte]

Bonjour,

Prenons la fonction f(x) = x et la fonction g(x) = x²

Ces deux fonctions tendent vers l'infini pour x allant vers l'infini. En revanche la croissance de x² est plus grande que x.

Pour des très grands nombres x² sera très largement supérieur à x

Maintenant si on calcule le rapport h(x) = f(x)/g(x).

On a h(x) = f(x)/g(x), donc a "infini" sur "infini" or si on remplace par les fonctions

h(x) = x / x², on remarque que comme x est différent de 0, on peut simplifier l'expression

h(x) = 1/x, et 1/un nombre très grand vaut 0.

On peux également considérer la fonction

j(x) = x² / x, on obtient toujours "infini" sur "infini", en simplifiant par x on trouve

j(x) = x, ce qui donne l'infini lorsque x tend vers l'infini.

As-tu compris ?

[chan79]

Bonjour,

Par simple curiosité, peut-on m'expliquer pourquoi l'infini sur l'infini n'est pas égal à 1 ?
Merci.

Un exemple simple au niveau collège



le numérateur et le dénominateur deviennent de plus en plus grands (tendent vers l'infini) et pourtant ces quotients restent égaux à 2

[dodge]

Merci pour vos réponses.

@ampholyte
Je comprends bien ton raisonnement, mais tu parles de fonctions, et moi de l'entité "infini".
L'infini ne peut être contenu qu'une seule fois dans l'infini. Donc l'infini divisé par lui-même devrait être égal à 1, non ?
On ne peut pas considérer que deux infinis puissent être différents...

@chan79
Je suis bien d'accord !
Donc, je peux écrire (infini x 2)/infini = 2.
Est-ce correct ?

[ampholyte]

Tu ne peux pas considérer l'infini comme tu considère un nombre. Parle d'opération sur l'infini n'est mathématiquement pas correct. Très souvent par abus de langage on va dire que c'est infini or il serait plus juste de dire que cela tend vers l'infini.

Une erreur également régulière qu'on peut trouver c'est de dire 1/0 = infini. Ce qui est complètement faux. Car la division par 0 est interdite. En revanche, on peut clairement dire :


qui se traduit par, lorsque x tend vers 0, son inverse tend vers l'infini.

(infini x 2)/infini = 2

En partant du principe que cette expression est vraie (ce qui ne l'ai pas), je peux également te dire que

2*infini = infini, donc 2*infini / infini = infini/infini = 1. Or d'après l'exemple de chan79 on trouve 2.

Comprends-tu où je veux en venir ?

[Nightmare]

Je comprends bien ton raisonnement, mais tu parles de fonctions, et moi de l'entité "infini".

D'où ma question : Qu'est-ce que tu appelles "l'entité infini" et comment définis-tu la division entre cette entité et elle-même?

Avant toute considération, il faut déjà donner un sens aux objets qu'on manipule.

[dodge]

Tu ne peux pas considérer l'infini comme tu considère un nombre. Parle d'opération sur l'infini n'est mathématiquement pas correct. Très souvent par abus de langage on va dire que c'est infini or il serait plus juste de dire que cela tend vers l'infini.

Une erreur également régulière qu'on peut trouver c'est de dire 1/0 = infini. Ce qui est complètement faux. Car la division par 0 est interdite. En revanche, on peut clairement dire :


qui se traduit par, lorsque x tend vers 0, son inverse tend vers l'infini.



En partant du principe que cette expression est vraie (ce qui ne l'ai pas), je peux également te dire que

2*infini = infini, donc 2*infini / infini = infini/infini = 1. Or d'après l'exemple de chan79 on trouve 2.

Comprends-tu où je veux en venir ?

Je ne doute pas que tu as mathématiquement raison !
Mais j'ai du mal à me l'imaginer "physiquement".
Parce que quand tu écris "2*infini = infini", cela revient à dire qu'une quantité deux fois plus grande qu'elle-même est égale à elle-même, ce qui frise l'absurdité.
Par contre, je trouve logique qu'un nombre divisé par zéro soit l'infini, alors que j'ai du mal à comprendre que tout nombre élevé à la puissance zéro est égal à 1.
Bref, en mathématique, qui est une science pourtant rigoureuse, il faut admettre certains postulats...

[annick]

Bonjour,
une petite réponse rapide qui ne justifie rien mais qui te donne un exemple du fait que ce ne puisse être juste :
si tu es dans un problème (de physique par exemple) où l'on a des mesures de l'ordre de quelques unités, mais que l'on considère que ces mesures peuvent s’étendre à l'infini. Alors 10 000 peut être considéré comme l'infini et 20 000 aussi, donc l'infini/l'infini pourrait se traduire par 20 000/10 000=2.

[ampholyte]

J'aimerais également rajouter que c'est tout à fait normal que tu ne puisses pas imaginer "physiquement" l'infini puisque par définition l'infini est quelque chose qui n'a pas de limite en nombre, en taille, ...

Tu peux essayer de lire la page du wikipédia (http://fr.wikipedia.org/wiki/Infini), cela te permettra de voir que l'infini est une notion vaste et complexe qui n’apparait pas seulement dans le domaine mathématique.

[dodge]

J'aimerais également rajouter que c'est tout à fait normal que tu ne puisses pas imaginer "physiquement" l'infini puisque par définition l'infini est quelque chose qui n'a pas de limite en nombre, en taille, ...

Tu peux essayer de lire la page du wikipédia (http://fr.wikipedia.org/wiki/Infini), cela te permettra de voir que l'infini est une notion vaste et complexe qui n’apparait pas seulement dans le domaine mathématique.

D'accord, on ne peut pas se représenter l'infini, mais ce qui me gêne, c'est qu'on puisse admettre que deux infinis soient différents, ce qui suppose que l'un d'eux est... fini.

[Nightmare]

Pourquoi? L'infinité des entiers naturels n'est pas la même que l'infinité des nombres réels, pourtant aucun de ces deux ensembles des finis.

Moi ce qui me gêne c'est que tu ne cherches pas à définir ce avec quoi tu travailles. Evidemment avec ça, on peut dire tout et n'importe quoi.

[dodge]

Pourquoi? L'infinité des entiers naturels n'est pas la même que l'infinité des nombres réels, pourtant aucun de ces deux ensembles des finis.

Moi ce qui me gêne c'est que tu ne cherches pas à définir ce avec quoi tu travailles. Evidemment avec ça, on peut dire tout et n'importe quoi.

Je ne travaille avec rien, ma question est juste anodine.
Quand tu divises 2 par 2, tu obtiens 1. Pourquoi ? Parceque 2 = 2.
Quand tu divises l'inifini par l'infini, tu n'obtiens pas 1. Pourquoi ? Parce que l'infini est différent de l'infini. Je trouve cela curieux, c'est tout !

[annick]

Non, ce n'est pas curieux car tendre vers l'infini veut dire que l'on va vers un nombre très grand que l'on ne peut pas préciser. Comme je te le disais, ça peut être 10 000 ou 100 000, on n'en sait rien, on sait juste que c'est très grand. C'est un peu comme si tu nous disais pourquoi je ne peux pas simplifier "très grand"/"grand", sauf qu'ici, les deux s'appellent l'infini.

[Nightmare]

Je ne travaille avec rien, ma question est juste anodine.
Quand tu divises 2 par 2, tu obtiens 1. Pourquoi ? Parceque 2 = 2.
Quand tu divises l'inifini par l'infini, tu n'obtiens pas 1. Pourquoi ? Parce que l'infini est différent de l'infini. Je trouve cela curieux, c'est tout !

Pour parler de division de l'infini, c'est que tu sous-entends que l'infini a le même statut qu'un nombre. Qu'est-ce qui justifie un tel choix et comment définirais-tu la division par l'infini après lui avoir conféré le statut de nombre?

Ce que j'essaye de te faire comprendre, c'est qu'a priori diviser l'infini par l'infini n'a aucun sens, c'est comme si d'un coup tu parlais de diviser une droite par une autre, a priori rien ne donne plus le droit de diviser l'un de ces objets ou l'autre, vu que la division est définie pour des nombres et que ni l'infini, ni une droite ne sont a priori des nombres.

Alors si l'on veut tout de même donner un sens à l'expression "infini / infini", il faut la définir et si possible essayer de faire que notre définition ne soit pas trop éloignée de celle de la division entre les entiers.

Une manière commune de le faire est de considérer l'entité "infini" non pas comme un nombre mais une limite, c'est à dire le représentant d'un comportement, qui est celui d'être de plus en plus grand. Et à ce moment là, on peut donner un sens à l'entité "infini / infini" qui est le rapport entre deux quantités de plus en plus grande. On comprend par cette définition et par les exemples qui t'ont été donnés dans ce topic que ce rapport n'a aucune raison d'être toujours égal à 1.

Mais plutôt que de voir l'infini comme une tendance, on pourrait le voir comme une quantité propre, qui désignerait non pas un élément mais une quantité d'éléments. Plus précisément, on pourrait par exemple définir l'infini comme le nombre d'éléments de Z. infini / infini pourrait alors pourquoi pas désigner le nombre d'éléments qui s'écrivent sous la forme a/b où a et b sont des entiers, et il y en a une infinité, autant que des entiers contre intuitivement. Alors infini / infini = infini.

Bref, tout est question de définition et d'interprétation d'un symbole qui n'a pas de sens pratique a priori.

[dodge]

Bonsoir,

@annick
Tu dis "un nombre très grand que l'on ne peut pas préciser".

Bien sûr, puisque ce nombre est infini.
Mais si je veux diviser l'infini par lui-même, je ne peux pas plus préciser la valeur du numérateur que celle du dénominateur. Le manque de précision est identique pour les deux quantités, et je ne vois pas pourquoi ces deux quantités seraient différentes.


@Nihtmare
"c'est comme si d'un coup tu parlais de diviser une droite par une autre".

A supposer que ce soit possible, on parle encore de deux droites différentes.
Peut-on affirmer que deux infinis soient différents ? Si oui, cela veut dire que que l'un peut être plus petit ou plus grand que l'autre...

C'est comme la division par zéro. Le quotient de deux nombres exprime le nombre de fois que le diviseur est contenu dans le dividende. Si je divise 100 par 1, j'obtiens 100, puisque 1 est contenu 100 fois dans 100. Si je divise 100 par 0, il serait logique que j'obtienne l'infini, puisque, 0 étant nul, il est contenu une infinité de fois dans 100.

Bref, je vous remercie pour vos réponses incontestables mathématiquement.
Mais je constate que mathématique n'est pas toujours synonyme de logique.

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Je voudrais juste rajouter un mot qui aidera peut-être dodge à comprendre.
On parle de l'infini, c'est juste une simplification de langage. On devrait toujours dire "qui tend vers l'infini".
L'infini n'existe pas dans l'univers. Le monde est énorme, pourtant il est fini. Le nombre de constellations et d'étoiles est énorme, mais il est fini.
Donc, toute expression de la forme "infini =" ou "= infinii" ou toute autre autre expression dans laquelle cohabitent le terme "infini" et le signe "=" n'a pas de sens, sauf si on l'a défini par convention.
Ceci ne remet pas en cause les mathématiques, mais comme il s'agit de langage, il y a des conventions de termes et d'usage de ces termes.

[leon1789]

Peut-on affirmer que deux infinis soient différents ? Si oui, cela veut dire que que l'un peut être plus petit ou plus grand que l'autre...

Effectivement, en mathématiques, il existe des (ensembles) infinis qui sont plus petits ou plus grands que d'autres. Par exemple, l'ensemble N des entiers (que l'on qualifie d'ensemble dénombrable), l'ensemble R des réels (qui n'est pas dénombrable, donc plus "gros"), l'ensemble des fonctions de R dans R (qui est encore plus "gros" que R), etc etc. Il n'existe pas d'ensemble le plus gros possible : quand E est un ensemble infini, alors l'ensemble des parties que E est un ensemble infini qui est strictement plus "gros" que E.

C'est comme la division par zéro. Le quotient de deux nombres exprime le nombre de fois que le diviseur est contenu dans le dividende. Si je divise 100 par 1, j'obtiens 100, puisque 1 est contenu 100 fois dans 100. Si je divise 100 par 0, il serait logique que j'obtienne l'infini, puisque, 0 étant nul, il est contenu une infinité de fois dans 100.

là, c'est tout à fait autre chose, il faudrait revenir à la définition de la division (et de la multiplication).

Bref, je vous remercie pour vos réponses incontestables mathématiquement.
Mais je constate que mathématique n'est pas toujours synonyme de logique.

Il faut reconnaitre qu'il y a des objets mathématiques qui ne sont pas intuitifs (la notion d'infini par exemple), et qu'un raisonnement naïf peut facilement être flou.

[annick]

Petite question subsidiaire, Dodge, tu es vraiment au collège ?

[Matrixx]

Une petite précision utile: infini*infini=infini. Peut-être ce résultat (relativement intuitif et acceptable) peut-il éclairer les choses ;)