Nombres infinis

[Dlzlogic]

Une petite précision utile: infini*infini=infini. Peut-être ce résultat (relativement intuitif et acceptable) peut-il éclairer les choses

Personnellement, je déteste ce genre de relation.
Les opérateurs (+-*/) et le signe "=" n'ont de signification que pour les nombres réels. (Pour les puristes, l'extension à d'autres nombres, tels que les complexes, est faite suivant des hypothèses bien précises.)
Avec votre relation, puisqu'on a utilisé des opérateurs, on peut faire des opérations, on en déduit facilement "infini=1".

[beagle]

Personnellement, je déteste ce genre de relation.
Les opérateurs (+-*/) et le signe "=" n'ont de signification que pour les nombres réels. (Pour les puristes, l'extension à d'autres nombres, tels que les complexes, est faite suivant des hypothèses bien précises.)
Avec votre relation, puisqu'on a utilisé des opérateurs, on peut faire des opérations, on en déduit facilement "infini=1".

si on définit la cardinalité à partir de la bijection,
alors 2 fois un infini égale le mème infini, etc...
on n'arrive pas à passer d'un infini à l'autre, mais on reste dans le mème infini si on le coupe en deux, si on le multiplie par lui-mème,...ça c'est faisaible par l'existence d'une bijection.
genre il y a autant de rayons dans un cercle que de diamètres, et pourtant il y aussi le double de rayons que de diamètres, parce que le résultat est le mème infini.
un segment coupé en deux, chaque demie est le mème infini que le segment double,...
parce que l'on peut trouver une bijection du demi-segment vers le segment entier ...

voir par exemple ici:
http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/NbInfini/Aleph.htm

[leon1789]

Poser " infini * infini = infini " n'est pas vraiment gênant en soi,
mais dire que cela entraîne " infini = 1 " ou " 2 = 1 " ou ... est faux, car on n'a simplement jamais défini proprement la division de l'infini par l'infini.

Revenir à la définition de la division (à l'aide de la multiplication), et on verra alors qu'on ne peut pas définir proprement " infini / infini ". La preuve de cette impossibilité est donnée depuis le début de la discussion (confer les messages de Nightmare).

[Dlzlogic]

Poser " infini * infini = infini " n'est pas vraiment gênant en soi,
mais dire que cela entraîne " infini = 1 " ou " 2 = 1 " ou ... est faux, car on n'a simplement jamais défini proprement la division de l'infini par l'infini.

Revenir à la définition de la division (à l'aide de la multiplication), et on verra alors qu'on ne peut pas définir proprement " infini / infini ". La preuve de cette impossibilité est donnée depuis le début de la discussion (confer les messages de Nightmare).

Un observateur attentif aurait remarqué que je n'ai pas dit que c'était faux mais que je détestais ce genre de relation.
Il manque une chose indispensable : de quoi parle-t-on ?
D'outils mathématiques abstraits utiles pour certaines démonstrations, ou de termes concrets.

Poser " infini * infini = infini " n'est pas vraiment gênant en soi,

Absolument, si c'est seulement pour faire joli.
En d'autres termes, l'écriture de "infini" dans une expression qui comporte un signe "=" nécessite des définitions : de quoi parle-t-on ?

[beagle]

Un observateur attentif aurait remarqué que je n'ai pas dit que c'était faux mais que je détestais ce genre de relation.
Il manque une chose indispensable : de quoi parle-t-on ?
D'outils mathématiques abstraits utiles pour certaines démonstrations, ou de termes concrets.
Absolument, si c'est seulement pour faire joli.
En d'autres termes, l'écriture de "infini" dans une expression qui comporte un signe "=" nécessite des définitions : de quoi parle-t-on ?

ben par exemple de la cardinalité de l'ensemble des fractions qui ont un entier au numérateur et un entier au dénominateur,
et on cherche si cet infini est plus grand ou pas que les entiers seuls
on aura l'infini des entiers fois l'infini des entiers
et on en trouve autant que l'infini des entiers en terme de cardinalité définie par l'existence d'une bijection.

dans d'autres situations on multipliera deux infinis de cardinalité différente,
cela peut bien se définir.

Et la définition de cela sert à rien quand cela ne sert pas pour Dlzlogic n'est pas une défintion admise par tous.

[beagle]

Pour la division je ne sais pas,
mais si on prend le nombre de points d'un segment.
et qu'ensuite on divise ce segment par 1 puis par 2 puis par 3 puis par 4, etc.. par tous les éléments de N.
cela ressemble à une division d'un infini par un autre infini plus petit, non?

[leon1789]

Le signe = n'est pas réservé aux nombres, mais à tous les éléments de tous les ensembles. Et il n'y a pas que les nombres sur lesquels on peut définir des opérations.

Poser " infini * infini = infini" n'est pas pour faire joli : c'est assez utile, ne serait-ce que pour des calculs de limites (ou de cardinalité comme dit beagle).

[leon1789]

Pour la division je ne sais pas,
mais si on prend le nombre de points d'un segment.
et qu'ensuite on divise ce segment par 1 puis par 2 puis par 3 puis par 4, etc.. par tous les éléments de N.
cela ressemble à une division d'un infini par un autre infini plus petit, non?

cela ressemble à des divisions d'un infini par des nombres entiers. :we:

[beagle]

cela ressemble à des divisions d'un infini par des nombres entiers. :we:

Zut ça se voit si vite que j'ai triché?
Bon, ben j'aurais essayé.
surtout si j'avais pu ennuyer mon ami Night, j'aurais passé une bonne soirèe.

[dodge]

Si je place au numérateur 1*2*3*4*5....jusqu'à l'infini.
Si je place au dénominateur 1*2*3*4*5....jusqu'à l'infini.
Par quel phénomène la quantité du dénominateur peut-elle être différente de celle du numérateur ?

[leon1789]

Si je place au numérateur 1*2*3*4*5....jusqu'à l'infini.
Si je place au dénominateur 1*2*3*4*5....jusqu'à l'infini.
Par quel phénomène la quantité du dénominateur peut-elle être différente de celle du numérateur ?

parler de numérateur et dénominateur sous-entend qu'on examine un rationnel a/b (avec a,b entiers par définition !) . Or dans ton exemple, il n'en est rien puisque tu places l'infini au-dessus d'un trait, et l'infini (le même) en dessous. Donc nous avons devant nous les symboles (qui n'est pas un rationnel, donc il ne s'agit pas de lui appliquer des règles démontrées pour les rationnels hein ?! :lol3: ). Et ensuite ?

[leon1789]

L'infini ne peut être contenu qu'une seule fois dans l'infini.

pourquoi ??
Prends l'exemple des nombres impairs (ensemble infini) et l'ensemble des nombres pairs (ensemble infini aussi) : l'union des deux est infini (le même infini). Donc 2 * infini = infini.

On ne peut pas considérer que deux infinis puissent être différents...

pourquoi ??
Il faut que tu fasses des preuves, plutôt que d'affirmer suivant ta propre intuition (qui en matière d'infini n'est pas fiable du tout : nous tous, nous appréhendons très mal l'infini) .

[dodge]

pourquoi ??
Prends l'exemple des nombres impairs (ensemble infini) et l'ensemble des nombres pairs (ensemble infini aussi) : l'union des deux est infini (le même infini). Donc 2 * infini = infini.



pourquoi ??
Il faut que tu fasses des preuves, plutôt que d'affirmer suivant ta propre intuition (qui en matière d'infini n'est pas fiable du tout : nous tous, nous appréhendons très mal l'infini) .

Tu dis que la valeur numérique de l'ensemble des pairs est infinie, de même que celle des impairs ? Si les 2 ensembles ont une valeur infinie, ils sont égaux, non ?

[Archytas]

Je comprends bien ton raisonnement, mais tu parles de fonctions, et moi de l'entité "infini".
L'infini ne peut être contenu qu'une seule fois dans l'infini. Donc l'infini divisé par lui-même devrait être égal à 1, non ?
On ne peut pas considérer que deux infinis puissent être différents...

Comme tu l'as dis l'infini est une entité, une idée, un concept en aucun cas c'est un nombre donc on ne peut pas le manipuler avec les mêmes symboles opératoires que les nombres. Parler de quotient d'infinis n'est possible que dans certains cas (les fonctions par exemple mais il faut bien préciser que c'est des limites).
Si le sujet t'interesse il y a un livre très complet pour débuter avec l'infini "De l'infini" de Jean-Pierre Luminet, Marc Lachièze-Rey, il y est question d'infini actuels, potentiels, infinis physiques et mathématiques, de quoi se régaler pour pas cher et c'est pas trop compliqué (=

[leon1789]

Tu dis que la valeur numérique de l'ensemble des pairs est infinie, de même que celle des impairs ? Si les 2 ensembles ont une valeur infinie, ils sont égaux, non ?

:doh:
on ne parle pas de la valeur d'un ensemble, mais du son cardinal (ou de nombre d'éléments si tu préfères). Il existe plein d'ensembles infinis qui ne sont pas des ensembles égaux : l'ensemble des nombres entiers pairs, l'ensemble des nombres entiers impairs, l'ensemble des nombres réels négatifs, l'ensemble des réels positifs, etc.

[dodge]

Comme tu l'as dis l'infini est une entité, une idée, un concept en aucun cas c'est un nombre donc on ne peut pas le manipuler avec les mêmes symboles opératoires que les nombres. Parler de quotient d'infinis n'est possible que dans certains cas (les fonctions par exemple mais il faut bien préciser que c'est des limites).
Si le sujet t'interesse il y a un livre très complet pour débuter avec l'infini "De l'infini" de Jean-Pierre Luminet, Marc Lachièze-Rey, il y est question d'infini actuels, potentiels, infinis physiques et mathématiques, de quoi se régaler pour pas cher et c'est pas trop compliqué (=

Merci pour ces infos, j’essaierai de me procurer ce livre.
Je vois d'ailleurs que je ne suis pas le seul à m'interroger sur le nombre "infini":
http://www.futura-sciences.com/fr/doc/t/mathematiques/d/linfini-mathematiques_1590/c3/221/p1/#xtor=EPR-17-[QUOTIDIENNE]-20130217-[DOSS-l_infini_est-il_paradoxal_en_mathematiques__]

[dodge]

:doh:
on ne parle pas de la valeur d'un ensemble, mais du son cardinal (ou de nombre d'éléments si tu préfères). Il existe plein d'ensembles infinis qui ne sont pas des ensembles égaux : l'ensemble des nombres entiers pairs, l'ensemble des nombres entiers impairs, l'ensemble des nombres réels négatifs, l'ensemble des réels positifs, etc.

Ok, alors plutôt que parler de valeur infinie, on devrait parler de valeur indéfinie !
Or, pour moi, une valeur infinie est bien définie, malgré qu'on ne puisse la représenter.

[leon1789]

Merci pour ces infos, j’essaierai de me procurer ce livre.
Je vois d'ailleurs que je ne suis pas le seul à m'interroger sur le nombre "infini":
http://www.futura-sciences.com/fr/doc/t/mathematiques/d/linfini-mathematiques_1590/c3/221/p1/#xtor=EPR-17-[QUOTIDIENNE]-20130217-[DOSS-l_infini_est-il_paradoxal_en_mathematiques__]

Effectivement, l'infini est source de questionnement.
Mais en tout cas, ce n'est pas un nombre !

[TheReveller]

qui se traduit par, lorsque x tend vers 0, son inverse tend vers l'infini.

Simple petite curiosité par le fait même :

Je me rappelle avoir vu cela aux études, mais il me semble qu'on ne puisse pas plus dire que 1/x lorsque x tend vers 0 vaut l'infini parce qu'on peut tendre vers 0 par provenance négative (0-) ou par provenance positive (0+), alors que 1/(0-) vaut l'infini négatif et que 1/(0+) vaut l'infini positif, alors x tend vers un 0 exact reste indéterminé, non ?