Nombres décimaux

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
nodjim
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Nombres décimaux

par nodjim » 19 Avr 2015, 09:59

Bonjour à tous,
On établit la liste exhaustive de tous les décimaux compris entre 0 et 1 de cette façon: Ce sont les entiers pris dans l'ordre auquel on ajoute le préfixe 0,. De plus, si un entier finit par n zéros, on reporte les n zéros juste après la virgule. Cela donne:
0--->0,0
1--->0,1
2--->0,2
10-->0,01
19-->0,19
20-->0,02
100->0,001
101->0,101
etc...

Ainsi l'indexation est facile. Quand on a un entier, c'est facile de trouver le décimal correspondant, et quand on a le décimal, c'est facile aussi de retrouver l'entier.
C'est un tableau de n chiffres après la virgule (largeur) et de 10^n nombres (hauteur). n étant illimité. A noter que le rapport largeur/hauteur tend vers 0 quand n grandit.

Un nombre réel est, en général, un nombre à écriture décimale illimitée. Aucun nombre réel n'est bien entendu présent dans ce tableau, ce sont tous des nombres à écriture décimale finie, par définition. Et pourtant, n'importe quel nombre réel peut être observé dans ce tableau par une suite illimitée de nombres décimaux. Par exemple 0,3141592654... est présent dans le tableau par la suite illimitée des nombre décimaux:
0,3
0,31
0,314
0,3141
0,31415
0,314159
0,3141592
0,31415926
0,314159265
0,3141592654
...

Autrement dit, aussi loin qu'on puisse regarder dans les décimales d'un nombre réel, on aura toujours un nombre décimal qui le représentera.

Ainsi, même si les nombres réels ne sont pas directement présents dans ce tableau, ne sont ils tout de même pas représentés par la suite illimitée de leur décimaux ?

Merci pour vos éclaircissements.



jwtdd
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par jwtdd » 19 Avr 2015, 12:53

salut, si on transforme racine(2) = 1.4142... en ...2414,1 on obtient effectivement des décimales limitée après la virgule mais plus avant... vue la présence de tout les nombre dans le tableau on confirme bien que racine(2) est réel mais qu'il reste sous forme illimitée donc irrationnel

Doraki
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par Doraki » 19 Avr 2015, 12:57

nodjim, tu veux dire que les nombres décimaux sont denses dans R ?

nodjim
Membre Complexe
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Enregistré le: 24 Avr 2009, 18:35

par nodjim » 19 Avr 2015, 13:13

Doraki, je ne conclus pas, je pose une question. Un nombre réel peut il être considéré comme une suite illimitée de nombres décimaux ? Le nombre réel est lui même,dans sa forme décimale, une suite illimitée de décimales. La différence est ténue !

DamX
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par DamX » 19 Avr 2015, 14:03

nodjim a écrit:Bonjour à tous,
Un nombre réel est, en général, un nombre à écriture décimale illimitée. Aucun nombre réel n'est bien entendu présent dans ce tableau


Non, je pense que tu saisis bien ce l'idée derrière, mais littéralement tel que c'est écrit, c'est faux. Un nombre réel n'a pas forcément une écriture décimale illimitée, et tous les nombres dans ton tableau sont des nombres réels, qui sont donc bien dans le tableau. Là où tu as raison par contre, c'est que ça représente très "peu" de réels par rapport au total, et que tous les autres (c'est à dire l'ensemble R\D) ne sont pas dans le tableau.

Egalement, comme tu l'as dit, tu vois que tu peux "approximer" un réel par une suite de décimaux, en tronquant à un certain niveau après la virgule, et en rajoutant chiffre après chiffre, pour converger vers un réel. Ecrit alaytiquement, tu considères en fait la suite :
, où E est la partie entière, ce qui revient à tronquer l'écriture décimale de x au n-eme chiffre après la virgule.

En effet, tu as , signifiant que tout réel peut être exprimé comme la limite d'une suite de nombres décimaux, ce qui veut dire au final que l'ensemble des décimaux est dense dans l'ensemble des réels, comme l'a dit Doraki.

Si ça a pu éclaircir,
Damien

nodjim
Membre Complexe
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par nodjim » 19 Avr 2015, 16:20

Oui DamX, je voulais dire qu'aucun nombre réel "à écriture décimale illimitée" ne se trouve dans le tableau.

Doraki
Habitué(e)
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par Doraki » 19 Avr 2015, 20:26

Ben selon ta construction favorite de R, les nombres réels sont peut-être DEJA des classes d'équivalence de suites de cauchy de rationnels.

Personnellement, vouloir privilégier les rationnels qui ont un développement décimal fini, et ne pas utiliser tous les autres rationnels comme 1/3 ou 3/7 et tout ça juste parcequ'on a 10 doigts je trouve ça d'un extrême mauvais goût.

Ensuite, tu as un autre problème gênant, c'est que 0.9999999.... = 1, et si tu veux définir un réel par la suite de ses décimales, bah tu vas devoir faire plein de cas particuliers super moches pour traiter les cas où t'as 2 suites différentes pour le même nombre réel.

De plus c'est pas forcément une bonne idée lorsque tu veux faire des calculs.
Par exemple si tu calcules 0.03333333333333333333 + 0.06666666666666668, ben tu vas te rendre compte super tard qu'en fait la somme ne commence pas par 0.09999..., mais par 0.1000...
et tout ça parceque tu comptes en base 10 et que tu n'aurais pas eu ce problème en base 3 (ou dans la plupart des bases).

Donc c'est pour ça qu'on se fiche éperdument des nombres "décimaux" quand on construit R. C'est super moche si on se focalise sur eux.

 

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