Nombre Premier - Inégalité

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
maxence6
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Nombre Premier - Inégalité

par maxence6 » 11 Aoû 2012, 19:47

Bonjour tout le monde !
J'ai vu il y a quelque temps cette inégalité (sans démonstration):
p(n+1) < p(n)^n +1 où p(n) désigne le n-ième nombre premier.
Cela m'a interpellé car il est connu qu'il existe des séquences de nombres composés consécutifs, dont la longueur dépasse n'importe quel nombre donné N, donc je me demande s'il ne peut pas exister entre p(n) et p(n+1) une séquence de nombres composés assez grande qui ferait que cette inégalité ne soit pas vérifiée !
Merci de m'éclairer à ce propos et si quelqu'un peut fournir une démonstration (?) :we:



nodjim
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par nodjim » 11 Aoû 2012, 21:11

Il y a mieux.
Etant donné qu'entre 1 entier et son double, il y a au moins 1 premier, alors:
p(n+1)<4p(n)-4.
Sinon, le produit des p(n) nombres premiers est < p(n)^n. Et ce produit, s'il n'est premier, est un produit de premiers nouveaux.

Sinon, Paul Duez toujours aussi performant ?

maxence6
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par maxence6 » 12 Aoû 2012, 22:36

Merci pour ta réponse !
héhé je ne suis pas à Paul Duez, je suis à fenelon (je passe en première S cette année)
Comment se fait il que tu connaisses ce lycée ? Tu habites dans le coin ? :we:

maxence6
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par maxence6 » 13 Aoû 2012, 00:17

Mais n'y a-t-il pas encore mieux que p(n+1) < 4p(n)-4 ?
C'est à dire que si il y a au moins un nombre premier entre un entier et son double alors p(n+1) se trouvera entre p(n)+1 et 2(p(n)+1) (exclus) et dans le cas le plus extrême, p(n+1) se trouvera en 2(p(n)+1) - 1 c'est à dire 2p(n)+1 donc ne peut on pas écrire p(n+1) < 2p(n)+2 ?

BrianAlan
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par BrianAlan » 15 Aoû 2012, 10:30

Comment se fait il que tu connaisses ce lycée ? Tu habites dans le coin ?





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nodjim
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par nodjim » 15 Aoû 2012, 10:39

J'y ai fait mes classes, j'y habitais en effet jusqu'en 77.
Fénélon, à l'époque, c'était pour les filles....

maxence6
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par maxence6 » 15 Aoû 2012, 15:39

Ha d'accord ! En faite, l'internat garçon est à Paul Duez et l'internat fille à Fenelon, mais au niveau des cours, c'est mixte pour les deux maintenant ! :)

 

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