0, un nombre bien gênant ...

[Nerra]

... mais Ô combien utile.

Hello,

Vous connaissez tous le 0, lu zéro. Vous l'utilisez à chaque jour. Il est possible de l'adorer dans ce type de question amusante : que vaut le produit (x-a)*(x-b)*...*(x-z) ?

Il est possible de le manipuler dans les démonstrations du type 1+1 = 3. C'est amusant de voir à quel point il est facile de le cacher ... après tout, il ne représente pas grand chose :lol3: .

Mais lui est-il possible de se rendre .. impossiblement pénible ? La plupart d'entre vous sont passés par les calculs de limites et connaissent les indéterminations et comment s'en débarrasser. Yey, joie, bonheur et félicité. Mais au final :

Peut-on écrire ?
Peut-on donner une valeur à ? Si oui, laquelle ?
Et pour ?
Est-il pair ou impair ? (Plus commun comme question)
Est-il positif ou négatif ?

Je pense avoir des réponses à ces questions. Peut-être en avez-vous aussi ? Si vous avez d'autres questions à propos de 0, je suis preneur, j'adore toujours poser ces petites choses à des élèves, ça les fait un peu réfléchir :marteau: :zen: .

Nerra

[willouuu]

Les démonstration du type 1+1 = 3 sont idéales pour montrer l'importance de détails tel que vérifier qu'on ne divise pas par zéro.

0/0 si tu le vois comme le partage de 0 éléments en des parts de 0 éléments ça fait 0.
Si tu le vois comme la limite de x/x quand x tend vers 0 ça fait 1. Et si tu le vois comme la limite x/y quand x tend vers 0 et y tend vers 0 on est mal. Donc convention suivant les cas.
0° si tu le vois comme le cardinal de l'ensemble des applications de {ø} --> {ø} alors ca vaut 1.
En passant par les limites c'est déjà une autre paire de manches. Donc là aussi convention suivant les cas qui nous arrange.
Évidemment zéro est paire, et il n'est positif et négatif à la fois ( enfin ça je suppose que tu le demandes à tes élèves).

Moi j'ai tendance à éviter ce sujet, car on perd du temps pour rien en classe ( et le temps est une denrée rare) et surtout c'est le genre de sujet qui perturbe les plus fragiles.

[Anneauprincipal]

Je trouve vos questions très peu pertinentes. Un lycéen peut effectivement se poser ces questions parce que les maths de collège/lycée sont faîtes pour paraitre intuitives, et par conséquent pas grand chose est fait avec rigueur au final. La seule chose un peu carrée qu'ils font je dirais que c'est la définition de limites avec des ouverts en terminales, mais comme ils n'ont jamais construit R, c'est un peu inutile d'essayer d'être rigoureux sur des bases définies avec les mains.

Par exemple , vous devez bien savoir que ça n'a pas de sens (même pas au sens des limites puisqu'on pourrait avoir - ou rien du tout si on change de signe...). 0 positif ou négatif ? Et bien il est les deux... Je ne sais pas, je trouve vos questions sans sens, et sans réel interêt, même pour des élèves, puisque justement ça leur donne l'impression que tout cela n'est pas clair, alors que ça l'est.

Demandons leur plutôt ce qu'est un ensemble ! Là on peut rigoler et les faire réfléchir

[Nerra]

Je pense qu'il y a une petite confusion sur le niveau des élèves que j'ai en classe, ma faute, je ne l'ai pas précisé : j'enseigne, temps partiel car je suis encore étudiant aussi, au CEGEP.

Je suis d'accord avec toi willouuu, le temps est trop précieux pour passer du temps sur ces questions. Je n'en passe pas. Je lance juste la question et la prennent ceux que ça intéresse/amuse/pique la curiosité/... Je réponds à ceux qui auront tenté leur chance mais hors du cours (ou je me prends quand même 5 minutes si beaucoup ont essayé, ce ne sera pas perdu). Tu as aussi raison, faut faire attention aux plus fragiles, de là l'importance d'avoir une très, très bonne réponse de prête au cas où certains y répondraient.

Oh et merci pour une valeur de avec les applications, je n'y avais pas pensé.


Maintenant, pour l'agressif du jour ...
Oui, je sais que ça n'a pas de sens comme égalité. Mais pour pouvoir dire que ça n'a pas de sens ... faut y avoir réfléchi ne serait-ce qu'une minute, non ?

Il se trouve que 0 n'est ni positif ni négatif et non pas les deux, donc ma question t'aura fait faire une erreur, ce qui est toujours une bonne chose pour faire apprendre les gens. Sois content, tu viens d'apprendre quelque chose.

Je ne vois pas pourquoi ces questions rendent cela peu clair/flou/nébuleux/imprécis.
Cela dépend de la correction qu'on va leur donner suite à leurs tentatives de réponses (et même peut-être que certains auront une bonne justification). Si le prof est imprécis ... les élèves seront imprécis. Si le prof est rigoureux, précis, les élèves auront une chance de l'être.

Oui, on peut leur demander ce qu'est un ensemble. Comme on peut leur demander beaucoup de choses. Ne serait-ce que leur demander ce qu'est un nombre suffirait à lancer un cours en théorie des nombres. Ne serait-ce que leur demander si un triangle a bien toujours la somme de ses angles égale à 180° suffirait à lancer un cours sur les géométries non euclidiennes. Ne serait-ce ...

[Dlzlogic]

Bonjour,
Moi, depuis que l'on m'a dit qu'il y avait plusieurs infinis, des infinis plus ou moins grands que d'autres, et même une infinité d'infinis, plus rien ne m'étonne. En effet on m'avait appris que une relation ou une valeur pouvait "tendre vers l'infini" mais par définition ne jamais l'atteindre.
C'est un peu la même chose pour la géométrie non-euclidienne, on peut écrire des tas de choses sur un papier, mais l'application devient hasardeuse.
Ce type de discussion est très intéressant pour les théoriciens, mais à mon avis, ne peut semer que le doute dans l'esprit des élèves.

[Sylviel]

Quelques petites remarques :

- 0 est bien positif et négatif car en français positif signifie plus ou égal à 0, contrairement au "positive" anglais qui signifie supérieur strictement.

- je doutes que beaucoup de gens sachent ce qu'est le CEGEP ;-)

- Tout dépend des réponses données mais c'est vrai qu'a mon sens il vaut mieux ne pas écrire ce genre d'égalité. Sauf pour dire "par convention on convient que ..." et éventuellement justifier la convention.

- Poser la question "qu'est-ce qu'un ensemble" ne me paraît pas vraiment adapté : personne n'a les moyens d'y répondre et une réponse correcte ne convaincra pas grand monde...

@Dlzlogic :
- tu devrais pourtant être bien placé pour savoir que la géométrie non-euclidienne a des applications très pratique...

- les "plusieurs infinis" dont on t'as parlé doivent être ceux de la théorie des cardinaux si je ne m'abuse. Cela revient à dire que l'on est capable de donner un sens à "R est plus gros que N", pas qu'il faut spécifier de quel infini on parle quand on écrit x->oo (enfin dans d'autres théorie c'est nécessaire si x est un vecteur par exemple...).

[Dlzlogic]

@Dlzlogic :
- tu devrais pourtant être bien placé pour savoir que la géométrie non-euclidienne a des applications très pratique...

- les "plusieurs infinis" dont on t'as parlé doivent être ceux de la théorie des cardinaux si je ne m'abuse. Cela revient à dire que l'on est capable de donner un sens à "R est plus gros que N", pas qu'il faut spécifier de quel infini on parle quand on écrit x->oo (enfin dans d'autres théorie c'est nécessaire si x est un vecteur par exemple...).

Ben non, je n'ai aucune idée d'application, et je ne sais d'ailleurs rien à ce sujet. A moins que tu parles de géométrie sphérique ?
Pour moi, la géométrie non-euclidienne est une géométrie, éventuellement plane, avec laquelle à partir d'un point pris hors d'une droite, on peut tracer une infinité de parallèles à cette droite.
La géométrie sphérique est une géométrie euclidienne : à partir d'un point, on ne peut tracer qu'une seule droite parallèle à une direction donnée. L'histoire de la somme des angles d'un triangle résulte du fait que pour le démontrer, il faut admettre qu'on ne peut tracer d'une seule parallèle : un postulat.

Pour l'histoire des infinis, je faisais allusion à Cantor et je récuse la comparaison d'un mur de longueur infinie qu'on peut peindre avec de la peinture contenue dans des pots en nombre fini. J'ai déjà expliqué pourquoi.

[leon1789]

La géométrie sphérique est une géométrie euclidienne

:help:
Si la géométrie sur la sphère était euclidienne, ça se saura ... Sur la sphère, on fait de la géométrie riemannienne.

[Nerra]

@Sylviel

- Désolé pour le CEGEP, il est vrai qu'il n'y a pas d'équivalent en Europe (disons que c'est comme une spéciale math ... si on décide de choisir la filière math).

- Je ne suis toujours pas d'accord avec le fait que 0 soit positif et négatif. C'est sans doute une question de français, comme tu l'as dit, mais voilà pourquoi je dis qu'il n'est ni l'un ni l'autre :

10 est-il plus grand ou plus petit que 10 ? Il n'est ni l'un, ni l'autre, il est égal à 10. De même, 0 est-il positif ou négatif revient à poser, 0 est-il plus grand ou plus petit que 0 ?
Ça vaut ce que ça vaut.

- Pour l'égalité , ce qui est dérangeant, c'est qu'on a aussi , par exemple. Donc, pas transitivité, on a ? Je trouve cela pas mal perturbant.

Fini pour le @ ^^.

Je me dis que ma dernière phrase a été malheureuse : Si vous avez d'autres questions à propos de 0, je suis preneur, j'adore toujours poser ces petites choses à des élèves, ça les fait un peu réfléchir. Sans elle, la discussion aurait été moins controversée je pense :mur: .

Mais mon intérêt pour les curiosités reste, si vous en avez, je suis toujours preneur . Et pas pour les élèves nécessairement, mais pour mon égoïste petite personne :lol3: .


Oh sinon, j'ai fait de la géométrie hyperbolique avec la représentation de Klein et le disque de Poincaré, c'est vraiment le fun. Si vous aimez dessiner, c'est très amusant et les mathématiques derrière sont très intéressantes.

[Dlzlogic]

:help:
Si la géométrie sur la sphère était euclidienne, ça se saura ... Sur la sphère, on fait de la géométrie riemannienne.

Je ne connais pas la géométrie riemannienne.
La géométrie sphérique existe depuis bien avant le milieu du XIXè.
Alors, qu'est-ce qui caractérise la géométrie euclidienne ? A mon avis, c'est encore un problème se sémiologie.

[Kikoo <3 Bieber]

Petite question peut-être hors de propos mais en quel niveau enseignes-tu Nerra ?

[leon1789]

oups, j'ai effacé mon message précédent...

La géométrie sphérique est une géométrie euclidienne

:help:
Si la géométrie sur la sphère était euclidienne, ça se saura ... Sur la sphère, on fait de la géométrie riemannienne.

Je ne connais pas la géométrie riemannienne.
La géométrie sphérique existe depuis bien avant le milieu du XIXè

et donc tu voudrais changer son nom usuelle pour cela ?

Alors, qu'est-ce qui caractérise la géométrie euclidienne ? A mon avis, c'est encore un problème se sémiologie.

on peut commencer par lire ceci
http://serge.mehl.free.fr/anx/geo_euclide.html
ou cela
http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_euclidienne

[Nerra]

Au départ, j'enseigne au secondaire, j'ai un diplôme belge pour ça :hum: :doh: .
Mais, une envie de travailler au Québec m'a envoyé là-bas et je me retrouve à devoir encore étudier pour pouvoir y enseigner :cry: .
Pour le moment, je peux enseigner au secondaire et à ce qu'ils appellent le CEGEP. Dans deux ans, je pourrai aussi être chargé de cours à l'université (mais je vais rester au CEGEP je pense, même si je ne suis que prof lorsqu'il y a besoin pour le moment ... une sorte de roue de secours ... j'aime bien ce niveau-là).

[Dlzlogic]

Sur la sphère, on fait de la géométrie riemannienne.

Oui, toi peut-être, maisla plupart des gens font de la géométrie sphérique sur la sphère, en tout cas dans la profession que je connais.
Bon, qu'est-ce qui caractérise, maintenant, c'est à dire dans le langage actuel, la géométrie euclidienne ?

[Nerra]

La géométrie euclidienne est la géométrie qui respecte les 5 axiomes d'Euclide (y compris donc celui des parallèles qui dit que par un point extérieur à une droite passe 1! droite qui lui est parallèle).

La géométrie sphérique est la géométrie qui respecte les 4 premiers axiomes d'Euclide, sauf le 5ème, qui est légèrement modifié : par un point extérieur à une droite ne passe aucune droite parallèle à cette droite. Bien sûr, dans la géométrie sphérique, une droite sera un grand cercle.

La géométrie hyperbolique est la géométrie qui respecte encore les 4 premiers axiomes d'Euclide, mais cette fois le 5ème est modifié comme suit : par un point extérieur à une droite passe une infinité de droites parallèles à cette droite.
Le meilleur exemple de géométrie hyperbolique sont les tours des centrales nucléaires.

Plus simple que ça, je ne vois pas :hein: .

[leon1789]

Oui, toi peut-être, maisla plupart des gens font de la géométrie sphérique sur la sphère, en tout cas dans la profession que je connais.

Oui, mais la géométrie sphérique, c'est de la géométrie riemannienne sur le cas particulier de la sphère. Donc là, on parle de la même chose.

Bon, qu'est-ce qui caractérise, maintenant, c'est à dire dans le langage actuel, la géométrie euclidienne ?

C'est le 5ème postulat qui caractérise la géométrie euclidienne : >

[Sylviel]

La géométrie sphérique est bien géométrie non euclidienne de courbure positive constante. C'est un peu comme dire qu'un cercle est une courbe : c'est un cas particulier.

La géométrie Euclidienne est caractérisée, et a toujours été caractérisé par le postulat que tu as cité. En revanche sur la sphère on ne peut pas construire de parralèlle à une droite passant par un point exterieur à la droite. Voir ici par exemple. Une autre manière de dire c'est que de droites passant par un point se retoucheront (de l'autre côté de la sphère à vrai dire).

Sinon @ nerra dans la littérature Française on dit bien que 10 est plus grand que 10 . (Plutôt x plus grand que 10 signifie x\geq 10 et non x>10). C'est une question de convention, qui est celle contraire à la littérature anglo-saxone. Et peut-être à ce qui est enseigné dans d'autres pays francophone comme le Canada (au Québec).

[Dlzlogic]

La géométrie sphérique est bien géométrie non euclidienne de courbure positive constante. C'est un peu comme dire qu'un cercle est une courbe : c'est un cas particulier.

La géométrie Euclidienne est caractérisée, et a toujours été caractérisé par le postulat que tu as cité. En revanche sur la sphère on ne peut pas construire de parralèlle à une droite passant par un point exterieur à la droite. Voir ici par exemple. Une autre manière de dire c'est que de droites passant par un point se retoucheront (de l'autre côté de la sphère à vrai dire).

Bon d'accord, on joue sur les mots.
J'admets tout à fait qu'en géométrie sphérique, il n'y ait pas de droite, donc le postulat dont on parle est sans objet, puisqu'on n'a pas l'occasion de l'utiliser, mais dire que c'est une autre géométrie et en particulier une géométrie "non-euclidienne" me parait un peu gros, surtout quand on sait que cette géométrie (riemannienne) a été inventée au milieu du XIXè siècle.
Il me semble que dans le sens commun, la géométrie Euclidienne est celle de l'on peut décrire, dessiner, qui ne fait appel à aucun concept mathématique théorique, contrairement aux géométries non-euclidiennes. Mais, encore une fois, à mon avis, c'est de la sémantique pour le plaisir.

Concernant le cercle et la courbe, le cercle est une courbe, la parabole aussi etc. comme l'or est un métal, mais un métal n'est pas forcément de l'or.

[Sylviel]

Petite précision préalable : je suis loin d'être expert en géométrie (euclidienne ou non) mais je suis quasi-certains de mes affirmations jusqu'à présent et dans ce message.

La notion de segment de droite est parfaitement définie en géométrie sphérique (ou non euclidienne) : il s'agit du chemin le plus court entre deux points. Je ne sais pas exactement comment on étend ceci à la notion de droite mais je suis certain qu'il y a une définition précise et simple.

C'est bien une géométrie non euclidienne car elle ne réponds pas à tout les théorèmes de la géométrie Euclidienne... par exemple la somme des angles d'un triangle ne vaut pas 180°, par exemple deux droites se coupent en 2 points et non 1 seul... Je ne vois pas comment tu peux refuser que ce soit une géométrie non-Euclidienne.

Pourquoi étudier la géométrie Non-Euclidienne plutôt qu'uniquement la géométrie sphérique ? Ben pour la même raison qu'on fait des théorèmes sur l'ensemble des fonctions dérivables plutôt que seulement sur les polynomes. On ne va pas se restreindre à un cas particuliers si on peut donner plus général. Et pour être très concret : la terre n'est pas sphérique mais plus de forme ellipsoïde, donc les seuls résultats de la géométrie sphérique peuvent être insuffisants et on a besoin de la géométrie elliptique... De la même manière que pour des études mécanique de centrale nucléaire on peut avoir besoin de géométrie hyperbolique...

Pour moi ça n'a rien de "sémantique pour le plaisir". C'est surtout une classification qui permet de dire quels théorèmes sont vrais sous quelles conditions.

Pour conclure : soit tout métal n'est pas de l'or mais pourquoi dédaigner toute étude des métaux parce que c'est l'or qui nous intéresse pour le moment, en oubliant que le jour on on voudra travailler l'argent on préfèreras avoir une partie du boulot fait (toutes les propriétés des métaux) plutôt que devoir tout recommencer.

[leon1789]

Bon d'accord, on joue sur les mots.

absolument pas.

J'admets tout à fait qu'en géométrie sphérique, il n'y ait pas de droite, donc le postulat dont on parle est sans objet, puisqu'on n'a pas l'occasion de l'utiliser, mais dire que c'est une autre géométrie et en particulier une géométrie "non-euclidienne" me parait un peu gros, surtout quand on sait que cette géométrie (riemannienne) a été inventée au milieu du XIXè siècle.
Il me semble que dans le sens commun, la géométrie Euclidienne est celle de l'on peut décrire, dessiner, qui ne fait appel à aucun concept mathématique théorique, contrairement aux géométries non-euclidiennes. Mais, encore une fois, à mon avis, c'est de la sémantique pour le plaisir.

oui, mais là, tu racontes ta sauce avec quelques contre-vérités mathématiques.

Et puis tu parles d'invention : en maths, l'invention ne porte pas forcément sur la construction d'un objet particulier (ben oui, on n'a pas attendu le XIXe pour inventer la sphère !) mais assez souvent sur la nature communes de certains objets. Par exemple, la sphère est un exemple parmi toutes des surfaces de Riemann, et la géométrie sphérique est couverte par la géométrie riemannienne.