Un monomorphisme est isomorphe à son image

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
Finrod
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Messages: 1944
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Un monomorphisme est isomorphe à son image

par Finrod » 30 Avr 2010, 15:07

Bonjour,

J'essaie de rédémontrer un résultat classique, qui est que si on se donne un monomorphisme



dans une catégorie abélienne (avec addition, noyaux et conoyaux, typiquement la catégorie des groupes), alors X est isomorphe à son image.

L'image étant définie comme Im(f):= ker(coker(f))

Bien entendu, je n'y arrive pas. :marteau:

Si quelqu'un à une idée.



abcd22
Membre Complexe
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par abcd22 » 01 Mai 2010, 03:04

Bonjour,
Finrod a écrit:une catégorie abélienne (avec addition, noyaux et conoyaux, typiquement la catégorie des groupes)

Il y a une condition supplémentaire pour définir une catégorie abélienne : tout monomorphisme est un noyau et tout épimorphisme est un conoyau (ou, de façon équivalente, pour tout morphisme f, le morphisme naturel de Coim f dans Im f est un isomorphisme); cette propriété est utilisée pour montrer la propriété que tu cherches, mais je n'ai pas le courage de chercher les détails à cette heure-ci.

Finrod
Membre Irrationnel
Messages: 1944
Enregistré le: 24 Sep 2009, 12:00

par Finrod » 22 Mai 2010, 17:00

J'avais pas rappelé la définition complète en effet.

Il doit falloir bidouiller avec des suites exactes courtes. Mais bon, je me suis résolu à pas tout redémontrer et à prendre un bouquin.

ça avait l'air assez long. Il fallait déjà montrer que si I est l'image de X alors L'image de X dans I est toujours I, soit comparer deux ker(coker(machin))...

Ce qui revient à montrer en fait que le conoyau de est nul, donc que c'est un épimorphisme.

Et l'exo en fait est finalement équivalent à montrer que mono+épi = iso . Une propriété suffisamment connue pour être retrouvé dans un livre.

 

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