Mon infini est plus grand que le tiens !

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je suis tout à fait convaincu par la démonstration, par contre, pour le titre du topic, j'ai un doute, je crois plutôt que c'est mon infini à moi qui est plus grand que le tien. :doh:

[globule rouge]

Tout de suite je me dit que comme avec un entier on fait 2 relatifs (avec 3 on fait +3 et -3) j'ai l'impression qu'il ne sont pô de la même taille !? Mais aprés le coup des relatifs pairs je suis plus sur de rien !!!
[CENTER]
... (intense réfléxion de plusieurs minutes (un peu plus d'une soixantaine plus exactement) ) ...
[/CENTER]

J'ai peut'être quelques chose ?
Avec :lol2: !
Qui sauf erreur de ma part devrait faire correspondre à chaque entier un relatif !?
Ça donnerai (imaginait le truc dans un tableau (dsl je sait pô les faire :triste: )) :

pour n parcourant les entiers N :
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; ...etc
donnerai :
-1; +1; -1; +1; -1; +1; ...etc
Pour la partie :
0; +1; 0 +1; 0; +1; 0; +1; ...etc
et donc alternativement ça nous donne :

Avec les chiffres ont aurai comme résultat :
0; +1; -1; +2; -2; +3; -3; +4; -4; +5; -5; .... etc ...

Du coup les entiers N peuvent être reliés un à un aux entiers relatifs Z. Donc il y en a autand de l'un que de l'autre.
J'ai bon ?

J'aime :p

[Judoboy]

Tu compliques énormément les notations Oktave. Cos(machin) ça fait (-1)^n, et la valeur absolue de ça ça fait 1. Mais en fait t'as pas besoin de donner une bijection de N dans Z, il te suffit de donner une surjection de N dans Z ou une injection de Z dans N, ce qui est beaucoup plus simple.

[globule rouge]

Tu compliques énormément les notations Oktave. Cos(machin) ça fait (-1)^n, et la valeur absolue de ça ça fait 1. Mais en fait t'as pas besoin de donner une bijection de N dans Z, il te suffit de donner une surjection de N dans Z ou une injection de Z dans N, ce qui est beaucoup plus simple.

On peut toutefois le montrer en mettant en évidence la bijection entre N et Z, non ?

[Judoboy]

Bien sûr, mais c'est plus compliqué. Pour N et Z ça va encore mais dans certains cas exhiber une bijection c'est l'enfer, alors que 2 injections ou 2 surjections ça peut rester très simple.

Après sa fonction a l'air de marcher, maintenant vous pouvez comparer N et N² tiens.

[globule rouge]

Bien sûr, mais c'est plus compliqué. Pour N et Z ça va encore mais dans certains cas exhiber une bijection c'est l'enfer, alors que 2 injections ou 2 surjections ça peut rester très simple.

Après sa fonction a l'air de marcher, maintenant vous pouvez comparer N et N² tiens.

Euh, N² désigne l'ensemble des couples (m,n) d'entiers naturels c'est ça ?

[Judoboy]

Tout à fait. Et ce que j'appelle l'ensemble des parties de N, c'est l'ensemble des sous-ensembles de N.

[globule rouge]

Et la bijection c'est plus simple tout les éléments de départ et d'arrivé sont lié un à un.
Est ce qu'en fesant une surjection dans un sens puis dans l'autre, ou une injection dans un sens puis dans l'autre on ne fait pô que prouver qu'il pourrait exister une bijection entre les deux ?

Je pense que tu vois juste, même si j'ai pas bien compris : une bijection désigne une application qui est à la fois surjective et injective !

[beagle]

"Il faudrait pô en plus que tout les éléments de départ donnent un résultat ?"

ben oui,
je crois qu'au départ cela s'appelle une application.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Application_(math%C3%A9matiques)
merdique les liens wiki
"En mathématiques, une application est une relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier (appelé ensemble de départ ou source) est relié à un unique élément du second (l’ensemble d'arrivée ou but). "
les applications peuvent ensuite ètre ou non, des injections , surjections,...

[beagle]

non, il n' y a pas injection de B vers A dans ton exemple,
car une application, c'est un flèche et une seule partant de tous les éléments de départ,

une,
ET une seule!

[Elerinna]

Ce qui ... euh ? ... ne prouve absolument rien !? ... euh !? J'ai b'soin d'un café là j'crois ...

Depuis le début de l'exposé, tu as prouvé que : et que . Quid de ? :biere:

Une bijection plutôt facile à trouver de est celle-ci (à compléter)

[Judoboy]

Oktave : j'avais pas vu ta présentation, chapeau pour ta motivation et ce que t'arrives à faire, impressionnant pour quelqu'un qui a du arrêter en 3ème.

Sinon en effet j'ai fait une coquille quand je t'ai dit de simplifier les écritures, cos(machin) c'était -(-1)^n, soit (-1)^(n+1).

Pour tes histoires d'injection et de surjection, on sait que s'il existe une injection de A dans B il existe une surjection de B dans A. C'est assez rapide à prouver, si f : A-->B est injective, soit x0 appartenant à A, on prend g = f^(-1) sur f(A) (car f est une bijection entre A et f(A)) et g=x0 (fonction constante qui à x associe x0) sur B\f(A), g est surjective.


De même s'il existe une surjection de A dans B il existe une injection de B dans A (de mémoire celui-ci est pas évident à démontrer et je crois qu'il faut utiliser l'axiome du choix).

Corollaire immédiat, s'il existe une surjection de A dans B, il existe une injection de B dans A et donc card(B)<=card(A).


Ce qu'il est important de retenir, c'est qu'on n'a pas besoin d'exhiber une bijection entre 2 ensembles pour montrer qu'ils ont le même nombre d'éléments, il suffit d'avoir 2 injections ou 2 surjections. Le théorème de Cantor-Bernstein nous assure alors qu'il y a une bijection entre les 2 ensembles et donc qu'ils ont le même cardinal.


P.S. : ce que j'ai écrit au début sur les cardinaux et les "nombres d'éléments" n'est pas tout à fait correct. Plus exactement, on veut définir une relation binaire qu'on notera <= (inférieur ou égal) sur les ensembles :

Soit 2 ensembles A et B, on dit que card(A) <= card(B) s'il existe une injection de A dans B ; on dit que card(A) = card(B), ou encore que A et B sont équipotents, s'il existe une bijection de A dans B.

Le théorème de Cantor-Bernstein nous dit que si card(A) <= card(B) et card(B )>= card(A) alors card(A) = card(B). Cette égalité n'est pas due à la double inégalité, mais on la démontre par le th. de Cantor-Bernstein.