Modeliser l'activité future d'un commerçant avec quelques critères

[Alagolep]

Bonjour a tous,

J'essaye de trouver la façon de modéliser (une suite?) l'activité d'un commerçant en fonction de plusieurs critères.
(j'ai deja posté, mias peut etre un peu moins bien formulé dans la section "soutien", mais à priori cela ne "converge" pas :)

Voici les regles:

. un commerçant démarre son activité le 1er janvier 2000, et la termine apres 70 mois.
. Il acquiert 5 nouveaux clients par mois.
. chaque client acquis vient dans son commerce 2 fois par an.
. chaque client lui est fidèle pendant 3 ans. (et apres va chez un autre commerçant ...)

1/ Quelle est la formule qui permet de calculer le nombre de clients qui entreront dans son commerce pour un mois m (entre 0 et 70).

2/ là ou ça se complique un peu ;) : chaque client acquis, apporte dans les 6 mois suivant, 3 nouveaux clients. (qui suivront les memes règles de fréquentation que l'enoncé initial)
Quelle est cette nouvelle formule ?



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mon debut à 2 balles - si j'essaye de derouler "empiriquement" :

pour la partie 1/
mois 1 à 6 : 5 (5 nouveaux )
mois 7 à 12 : 5 + 5 (5 nouveaux + les 5 anciens qui reviennent tous les 6 mois)
mois 13 à 18 : 5 + 5 + 5 (5 nouveaux + les 5 anciens qui entamment leur 2eme année + les 5 anciens qui reviennent 6 mois apres)
etc...
ce qui ferait du coup quelque chose comme :
n = 5 x (1 + entier(X/6))
(par exemple au mois 7 : on aura n = 5 x (1+1) = 10
(j'écris "entier" car je ne sais pas quelle est la bonne façon d'ecrire ceci... )

à partir du 37éme mois, il va commencer par perdre 5 clients par mois
Et donc on arrive à une situation de plafond : 30 clients ?

pour la partie 2/
euh... ca me semble un peu plus compliqué, là...



Merci,
AL.

[Sylviel]

Bonjour, il reste des choses à préciser :
- "il viennent 2 fois par ans" signifie "ils viennent tous les 6 mois" c'est cela ? i.e si un client arrive au mois n il sera de retour au mois n+k avec k<= 6 c'est cela ?
- quand un client en amène d'autres, il les amènent le mois de son premier retour ?
--> dans ce cas tout ce qui t'intéresse c'est les mois multiple de 6 (le premier mois étant numéroté 0) en effet tout les suivants auront exactement le même nombre. On note donc U0 le nombre de client au départ, U1 6 mois plus tard etc...
La formule par récurrence est alors
U_n = 5 + U_{n-1} + 3(U_{n-1}-U_{n-2})-U_{n-6}

Tous les indices négatifs valent 0. Cela se calcule très bien sous excel (ou n'importe quoi d'autres). Une formule explicite doit être trouvable (faut trouver les racines d'un polynome de degré 6 si je ne m'abuse).


Après je ne sais pas quel est ton objectif, mais si c'est pour modéliser la réalité ce n'est pas ainsi que je m'y prendrais... Je regarderais plutôt un modèle probabilistique qui permet de faire des simulations et de mieux représenter les différentes possibilités.

[Alagolep]

Salut,
Et merci d'avoir pris du temps pour me repondre... :)
concernant les precisions manquantes, pour l'exemple, on peut en effet partir sur les hypothèses :
- Ils viennent tous les 6 mois.
- les clients amenés sont amenés le premier mois
Je vais essayer de creuser avec la suite que tu donnes... dans excel.

En effet, le but c'est de trouver un modele pour simuler la realité... mais pour être honnete, les modeles probabilistiques, ca fait un bail que j'ai pas trempé dedans. Et là je cherche quelque chose d'approxilmatif.
Mais si jamais tu asun lien dispo vers de la lecture de probleme similaire, n'hesites pas.

Merci !
AL.

[Sylviel]

Sans doute mais ce que tu vas louper en faisant un modèle déterministe c'est le fait que si tu as 1 client de moins que prévu au début, sur toute ta période cela t'en feras beaucoup moins (car il n'en apporteras pas 3, qui eux même n'apporteront pas 3 chacun (soit 9) etc...).

Une première modélisation grossière possible c'est de remplacer a peu près tout tes nombres par une loi de Poisson (wikipédia pour la définition, et même excel sait la simuler) de paramètre ce même nombre. Exemple :
- au lieu de considérer que tu as 5 nouveaux clients par mois, considère que tu en as X où x suis une loi de Poisson de paramètre 5.
- au lieu de dire qu'il vient tous les 6 mois avec une régularité de métronome je propose de dire qu'il revient au bout d'une loi de poisson de paramètre 6
etc.

Le principal problème c'est que c'est plus délicat à coder en excel et qu'aller chercher un langage de programmation (même simplement de calcul scientifique genre matlab/scilab) risque d'être nécessaire.

L'avantage c'est que tu peux faire plusieurs simulations et voir que dans certains cas la population va être forte dans d'autre faible...

[Alagolep]

Tres bonne suggestion en effet...
merci pour les liens.
Du coup, j'ai de quoi occuper mon prochain week end... (car même si j'ai trempé la dedans dans mon jeune age (j'ai 42 ans, et ca fait un bail que je ne fait plus de math dans mon quotidien) ... Là il va me falloir un bon décrassage cérébral en repartant de la base (les suites... et excel pour commencer) et voir si j'arrive à mieux modéliser / simuler ça avec Poisson... !
Merci en tout cas pour les pistes !!!

Cdlt,
AL.