Minimum vertical d'un cercle 3d

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
YvesTousquet
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Minimum vertical d'un cercle 3d

par YvesTousquet » 03 Déc 2021, 16:00

Bonjour,

J'essaye de trouver le minimum vertical d'un cercle définit par l'intersection de la sphère unitaire avec un plan définit par trois points sur cette même sphère, c'est à dire un triangle.

L'équation de la sphère est donc x² + y² + z² - 1 = 0
Celle du plan est ax - ax0 + by - by0 + cz - cz0 + d = 0
L'intersection est donc la soustraction de l'une par l'autre, disons :
x² + y² + z² - 1 -(ax - ax0 + by - by0 + cz - cz0 + d) = 0
Pour avoir le minimum on dérive sur y ce qui donne :
2y - y = 0
et donc y = 0
Je ne vois pas comment le résultat pourrait être toujours le même et, de toutes façons, si je remplace y par 0 dans les deux équations ça ne me donne pas un résultat unique, ce qui n'arrive que quand les trois points sont à la même hauteur.

Merci de m'éclairer sur les erreurs que j'aurai pu commettre.



lyceen95
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Re: Minimum vertical d'un cercle 3d

par lyceen95 » 03 Déc 2021, 18:17

L'intersection est donc la soustraction de l'une par l'autre .... NON

Ton plan, c'est ax - ax0 + by - by0 + cz - cz0 + d = 0
C'est aussi : 2(ax - ax0 + by - by0 + cz - cz0 + d) = 0 : on est d'accord, ce nouveau plan est le même que celui de départ.
On fait la soustraction , comme toi : x² + y² + z² - 1 - 2 (ax - ax0 + by - by0 + cz - cz0 + d) = 0

Et on obtient une nouvelle équation, qui n'est pas la même que la tienne.

Pourquoi ...
x²+y²+z²-1=0 : c'est l'équation d'une surface.
ax - ax0 + by - by0 + cz - cz0 + d = 0 : c'est l'équation d'une surface.
x² + y² + z² - 1 - (ax - ax0 + by - by0 + cz - cz0 + d) = 0 : c'est l'équation d'une surface.
Cette dernière équation est l'équation d'une surface, et pas l'équation d'un cercle.
Cette surface contient le cercle dont on parle, mais elle contient beaucoup plus.

Avec une équation , on a une surface.
Il faut 2 équations pour déterminer une ligne (donc un cercle par exemple)

Pour une ligne, et pour utiliser des dérivées , la solution serait de passer par une équation paramétrée :
, et
Et tu cherches pour quelle valeur de on a minimal (en général, l'axe vertical est et pas ).

YvesTousquet
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Re: Minimum vertical d'un cercle 3d

par YvesTousquet » 03 Déc 2021, 18:42

Merci,

Dans Unity 3d le haut est y.

Ok l'équation est celle d'une surface, en effet, mais finalement ça ne change rien puisque c'est la surface du disque et que son minimum est aussi celui du cercle. Or c'est ce minimum qui m'intéresse.

lyceen95
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Re: Minimum vertical d'un cercle 3d

par lyceen95 » 03 Déc 2021, 19:25

C'est l'équation de la surface du disque ???? Quelle drôle d'idée.

Laquelle des 2 équations donne la surface du disque :
x² + y² + z² - 1 - (ax - ax0 + by - by0 + cz - cz0 + d) = 0
ou
x² + y² + z² - 1 - 2(ax - ax0 + by - by0 + cz - cz0 + d) = 0

Et selon quel critère l'une serait plus valide que l'autre ?
Ces 2 équations sont (sauf cas particulier ...) des équations de sphères .... les différentes sphères qui peuvent s'appuyer sur le cercle dont on parle.

Un disque , c'est quoi ? C'est une portion de plan
Donc l'équation d'un disque, c'est de la forme de l'équation d'un plan : ax - ax0 + by - by0 + cz - cz0 + d = 0 combiné avec une inéquation : distance <= rayon

YvesTousquet
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Re: Minimum vertical d'un cercle 3d

par YvesTousquet » 03 Déc 2021, 23:49

L'intersection de deux surfaces est une surface... n'importe quoi. Merci de laisser répondre ceux qui savent.

lyceen95
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Re: Minimum vertical d'un cercle 3d

par lyceen95 » 04 Déc 2021, 01:54

Je n'empêche personne de répondre.
D'ailleurs, j'ai donné tous les éléments. Concrètement l'élément le plus utile, c'est de passer par une équation paramétrique du cercle : x =f(t), y=g(t) z=h(t) ...et ensuite, ça se passe bien.

Donc, à part ça, dans mon message, tu vois un endroit où je dis que l'intersection de 2 surfaces est une surface ?
A la fin de mon message précédent ?
Quand je parle de l'intersection d'un plan, avec la """surface""" définie par distance <= rayon ?

lyceen95
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Re: Minimum vertical d'un cercle 3d

par lyceen95 » 04 Déc 2021, 12:44

Tu dis que l'équation x² + y² + z² - 1 -(ax - ax0 + by - by0 + cz - cz0 + d) = 0 est l'équation d'un disque.
Bon, ici, avec a,b,c x0.... qui sont des paramètres, ça peut être difficile à visualiser.
Essayons avec certaines valeurs particulières de tous ces paramètres.
Par exemple a=b=c=2
et x0=y0=z0=d=0

Pour moi, l'équation obtenue ressemble bougrement à l'équation d'une sphère, comme déjà dit.

YvesTousquet
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Re: Minimum vertical d'un cercle 3d

par YvesTousquet » 04 Déc 2021, 13:14

x0 y0 et z0 ne peuvent pas être égaux à zéro puisque ce sont les coordonnées d'un point sur la sphère.
J'ai dit, au début que :
- La sphère est la sphère unitaire.
- Le plan est défini par trois points sur la sphère.
L’intersection des deux est donc l’égalité des deux équations.
a b et c correspondent aux x y et z du vecteur normal au plan, d doit être calculé en remplaçant x y et z par un des trois points définissant le plan.
Mais au final on s'en moque puisqu'on cherche la dérivée et donc toutes les constantes disparaissent.

x² + y² + z² - 1 = a x - a x0 + b y - b y0 + c z - c z0 + d
donne la dérivée complète :
2x + 2y + 2z = a + b + c
dérivée sur y :
2 y = b
y = b / 2
Je me suis trompé dans la dérivée de mon premier message, by n'a pas pour dérivée y mais b.

lyceen95
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Re: Minimum vertical d'un cercle 3d

par lyceen95 » 04 Déc 2021, 13:49

(x0,y0,z0) doit être un point de la sphère. Ok. Pas de problème.

Choisis x0,y0,z0, a, b, c, d conformément à tes contraintes
Regarde l'équation obtenue sur un cas particulier.
Tu vas finir par voir que l'équation que tu utilises est celle d'une sphère

Ou même, puisque tu veux rester sur le cas général ...
x² +y² +z² -1 - (a x - a x0 + b y - b y0 + c z - c z0 + d) = ?
x² +y² +z² -1 - (a x - a x0 + b y - b y0 + c z - c z0 + d)=x²-ax + y²-by+z²-cz -1+ax0+by0+cz0-d
x²-ax, c'est (x-a/2)²-a²/4
Pareil pour y²-by et z²-cz

Donc
x² +y² +z² -1 - (a x -a x0 +b y -b y0 +c z -c z0 +d)= (x-a/2)²+(y-b/2)²+(z-c/2)² -a²/4-b²/4-c²/4-1+ax0+by0+cz0-d
Si je remplace la constante -a²/4-b²/4-c²/4-1+ax0+by0+cz0-d par k, pour simplifier les notations, on a donc
x² +y² +z² -1 - (a x -a x0 +b y -b y0 +c z -c z0 +d)= (x-a/2)²+(y-b/2)²+(z-c/2)²+k

Donc, tu t'intéresses à la surface d'équation (x-a/2)²+(y-b/2)²+(z-c/2)²+k=0
Cette surface, c'est une sphère de centre (a/2, b/2, c/2) et de rayon racine(-k) ... quand k est négatif.

Ta dérivée s'annule pour y=b/2 ? Donc pour les points qui sont sur l'équateur de cette sphère. Tu voulais trouver les 2 pôles Nord et Sud, et tu as trouvé l'équateur.

 

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