Maximisation equation du second degré a deux inconnues

[StephaneM]

Bonjour,

Je cherche fortement a résoudre le problème suivant. Merci d'avance pour toute aide.

Soit N = (0,2*X + 0,1*Y) * (0,5*X + 0,9*Y)

Je cherche à maximiser N sachant que X + Y = 100.


C'est très important pour moi de comprendre comment faire et que la solution puisse être codable ( donc pas une solution graphique...)

Encore une fois merci d'avance pour toute aide ou orientation vers la solution.

Stephane

[Lostounet]

Bonjour,

Puisque X + Y = 100
Alors Y = 100 - X

N = (0,2X + 0,1(100 - X)) * (0,5X + 0,9(100 - X))

N = (0,2X + 10 - 0,1X) * (0,5X + 90 - 0,9X)

N = (0,1X + 10) * (-0,4X + 90)

N = -0.04 X^2+5. X+900

Qui admet un maximum pour x = -5/2*-0.04 = 5/0.08 = 500/8 = 125/2
N = 4225/4

Remarque pour comprendre la fin de la démarche:
On peut penser à dériver la fonction N(x) = -0.04X^2 + 5X + 900

N'(x) = -0,08X + 5
On cherche x tel que N'(x) = 0, qui est bien x = 5/0,08 = 125/2 :)

[StephaneM]

Merci Beaucoup vraiment pour votre réponse.

Pour aller au bout de ma quête, j'ai besoin d'une formule générale qui sera codée. Donc j'ai posé la formule suivante:

On a les paramètres (A,B) et (C,D) qui sont fournis.
On cherche a maximiser N= (A*X + C*Y) * (B*X + D*Y) sachant que X+Y =100

On arrive donc à : N(x)=(A-C)(B-D)*X^2 + ((100D(A-C)+100C(B-D))*X + 10000CD

De la je ne sais pas comment passer de N(x) a N'(x) (je ne connais plus la formule a appliquer).

Bref je cherche a passer directement a la formule qui me donne X= en fonction de A,B,C et D.

Merci d'avance, cela m'aide vraiment beaucoup.

Stephane

[Lostounet]

Si N(x)=(A-C)(B-D)*X^2 + ((100D(A-C)+100C(B-D))*X + 10000CD

Tu as soit un maximum si (a-c)(b-d)<0
Soit un minimum si (a-c)(b-d)>0

Pour n(x)=ax^2+bx+c
On a toujours un extremum pour x=-b/2a
Tu n'as qu'à remplacer a b c par les coefficients que tu as trouvé.

Puis calculer N(x) en remplaçant x

[StephaneM]

Merci, compris.

Ultime question pour aller au bout de cette problématique.

Ici on avait 2 inconnues ( X et Y) avec (A,B) associé a X et (C,D) associé a Y.
on cherchait le Max de ( AX+CY)*(BX+DY) sachant que X+Y=100

Y a t-il une solution avec n inconnues (X1,X2,...,Xn) associé respectivement à (A1,B1),(A2,B2),....(An,Bn) sachant que X1+X2+...+Xn=100 ?
on cherche le Max de (A1X1+A2X2+....+AnXn)*(B1X1+B2X2+....BnXn)

Y a t-il une formule générale permettant de trouver X1,X2,...Xn ? ou est ce insoluble?
Et si insoluble de facon directe, y a t-il un autre moyen sachant que ce doit être codable?

Merci d'avance. Cette solution si elle existe me permet de finaliser toute ma démarche.

[Robot]

En général il n'y a pas d'extremum (sauf si tu as oublié des hypothèses....)
Quelques explications, même si tu n'as peut-être pas le bagage mathématique pour les comprendre.
Tu cherches à maximiser une forme quadratique de rang 2 sur un hyperplan affine. Le gradient de cette forme quadratique est nul sur un sous-espace vectoriel N de codimension 2, et la forme quadratique est constamment nulle sur ce sous espace.
Par ailleurs l'image du gradient de la forme quadratique est un sous-espace de dimension 2, qui en général ne coupera la droite vectorielle orthogonale à l'hyperplan qu'à l'origine si la dimension de l'espace ambiant est strictement plus grande que 2. Donc, pas d'extremum possible en dehors de N

Exemple de ce qui pourrait avoir été oublié : tous les X_i positifs.

[StephaneM]

Merci Lostounet.

Oui Robot, tous les X_i sont obligatoirement positifs et la somme vaut 100 pour être ramené a un %.

Y a t-il avec cette hypothèse, une solution ?
Merci d'avance.

[Robot]

Oui Robot, tous les X_i sont obligatoirement positifs et la somme vaut 100 pour être ramené a un %.
Y a t-il avec cette hypothèse, une solution ?

Voila, tu es assez typique des questionneurs qui oublient une partie (importante, sinon la plus importante !) des hypothèses. Pour toi c'est clair puisqu'il s'agit de pourcentages, mais comment veux-tu que ça le soit pour les autres si tu n'en dis rien ?

Bon alors dans ce cas il y a toujours un maximum (puisque le domaine est compact), mais il y a toutes les chances qu'il se situe sur les bords du domaine (typiquement, avec toutes les variables sauf deux nulles, pour les raisons que j'ai données ci-dessus).
Un exemple peut être :
Maximiser sous la condition . Si on ne précise pas la positivité des variables, no way ! Si on demande la positivité, le maximum est atteint pour .

[StephaneM]

Je comprends que cette hypothèse est capital pour toi à ton niveau de compréhension ( je n'ai pas ton bagage mathématique).

"mais il y a toutes les chances qu'il se situe sur les bords du domaine (typiquement, avec toutes les variables sauf deux nulles)"

Je comprends, mais "toutes les chances" ne veut pas dire 100% des cas, et si c'est le cas, je suis toujours interessé par avoir la répartition entre les deux variable non nulle.
Il se peut aussi qu'il y ait un couple (Ai,Bi) tellement au dessus du lot que l'optimum est attribué a 100% sur celui -la et 0 sur les autres.

En fait je cherche à avoir de facon directe une formule me donnant directement la valeur de Xn en fonction de (An,Bn) pour que ca soit codable et direct.
Sachant que 0 <= Xn <= 100 (donc toujours positif ou nul) et la somme des Xn vaut toujours 100.

Merci d'avance si tu as la solution ?

[Robot]

Tant qu'on y est dans les oublis d'hypothèses, est-ce que dans ton problème les A_i et les B_i sont positifs ?
Nous dire directement quel est ton problème éviterait d'avoir à jouer aux devinettes. Mais c'est peut-être top secret ?
Si c'est pour gagner à coup sûr à des paris hippiques, j'exige la moitié des gains ! :ptdr:

[StephaneM]

Les A_i sont >= 0
Les B_i sont compris entre 0 et 100

Ca n'est pas top secret mais c'est top délicat...
C'est pour gagner au tennis donc je t'enverrai la moitié des balles de tennis... ;)

[Robot]

Il me paraît vain d'espérer une "formule" qui te donnerait le maximum à tous les coups. Ce maximum va se trouver sur le bord du simplexe des et il faut a priori étudier ce qui se passe sur les différentes arêtes de ce simplexe (pour les raisons de rang expliquées plus haut), et il y aura donc des disjonctions de cas.
Tu as peut-être entendu parler d'optimisation linéaire, problème a priori plus simple puisqu'on maximise une forme linéaire et non une forme quadratique comme dans ton cas (le maximum se trouve alors en un sommet du simplexe). Il n'y a pas "une formule", mais un algorithme qui fait ça (l'algorithme du simplexe). Ton problème demanderait aussi l'écriture d'un algorithme qu'on pourrait programmer. Mais ne compte pas sur moi pour le faire ! :lol3:

[StephaneM]

Merci pour cette réponse.