Matrices symétriques

[wserdx]

Bonjour,
Je voudrais vous faire part d'une curiosité mathématique.
Je sais que dans le corps des complexes, toute matrice est similaire à une matrice symétrique.
Je cherche à savoir ce qu'il en est dans un corps fini. J'ai trouvé expérimentalement que dans les corps finis de caractéristique 2, c'est vrai pour presque toutes les matrices, sauf celles qui ont parmi leurs diviseurs élémentaires (facteurs des polynômes invariants) un polynôme de la forme
, entier non nul.
Est-ce quelqu'un connaitrait des résultats sur ce sujet?
Merci d'avance!

[Luc]

Salut,

je ne connaissais pas ce résultat pour les matrices complexes. Comment se démontre-t-il?
En regardant la preuve en détail on peut voir quel argument fonctionne et quel argument ne fonctionne pas dans un corps fini.
Et dans R, (resp Q, Z) le résultat est vrai?

[wserdx]

Oui, il suffit de le démontrer pour la forme canonique de Jordan, et en particulier pour un seul bloc.
(Theory of Matrices, Gantmacher)
Je ne l'ai pas là sous la main, je l'ai laissé au boulot, sinon j'aurais pu te dire ce qu'il en est de .
J'ai trouvé une construction de mon cru pour en construire une effectivement.
En partant de U quelconque, on a
il existe symétrique tel que .
Alors est symétrique si
Cela suppose donc qu'on puisse calculer une racine carrée de matrice. Donc dans , cela ne marchera pas bien!

[acoustica]

Oui, il suffit de le démontrer pour la forme canonique de Jordan, et en particulier pour un seul bloc.
(Theory of Matrices, Gantmacher)
Je ne l'ai pas là sous la main, je l'ai laissé au boulot, sinon j'aurais pu te dire ce qu'il en est de .
J'ai trouvé une construction de mon cru pour en construire une effectivement.
En partant de U quelconque, on a
il existe symétrique tel que .
Alors est symétrique si
Cela suppose donc qu'on puisse calculer une racine carrée de matrice. Donc dans , cela ne marchera pas bien!

Il a l'air super de livre de Gantmacher, Theory of Matrices... Dommage, il ne semble pas avoir été réédité.

[Luc]

Il a l'air super de livre de Gantmacher, Theory of Matrices... Dommage, il ne semble pas avoir été réédité.

Et dans Les Matrices de Denis Serre, il y a peut-être ce résultat? C'est une très bonne référence aussi.

[wserdx]

J'ai trouvé le Gantmacher sur un site de vente en ligne (réédition de 1998-2000 (2 volumes))
Quelqu'un peut-il me dire ce qui se trouve dans le "Matrices" de Denis Serre? Si ça vaut le coup, j'en ferai aussi l'acquisition.

[Luc]

J'ai trouvé le Gantmacher sur un site de vente en ligne (réédition de 1998-2000 (2 volumes))
Quelqu'un peut-il me dire ce qui se trouve dans le "Matrices" de Denis Serre? Si ça vaut le coup, j'en ferai aussi l'acquisition.

Le mieux c'est que tu regardes l'index dans une bibliothèque pour te faire une idée. Mais il a une bonne réputation, d'ailleurs il existe une version anglaise avec 10% de contenu en plus, "Matrices: Theory and Applications" aux éditions Springer.

[wserdx]

Merci pour cette info! J'ai pu ainsi trouver la table des matières (ainsi qu'une bonne partie du livre) en ligne. Il n'y a pas grand chose de plus que je n'ai déjà, mais ça vaut quand même le coup. Pour ce qui est des corps finis, je crains que ce soit plus dur à trouver.

[wserdx]

Salut,

je ne connaissais pas ce résultat pour les matrices complexes. Comment se démontre-t-il?
En regardant la preuve en détail on peut voir quel argument fonctionne et quel argument ne fonctionne pas dans un corps fini.
Et dans R, (resp Q, Z) le résultat est vrai?

Le résultat se démontre à peu près comme je le décris dans mon post précédent. La démonstration utilise une racine carrée. Donc dans toute matrice ne sera pas similaire à une matrice symétrique. Dans les corps finis de caractéristique 2, la racine carrée à le bon goût d'être bijective, mais toute matrice n'a pas de racine carrée pour autant. C'est pourquoi je tombe sur un "épiphénomène" des matrices ayant pour diviseur élémentaire. Je vais creuser pour essayer de me l'expliquer.