Longueur de piste

[hyperbowl]

Bonjour tout le monde,
je suis nouveau sur ce forum, et c'est mon premier post.
Je suis un passionné de sport par contre j'ai bien peur que mes années de collège soient restées loin derrière moi:
voilà je me suis posé un problème et je n'arrive tout simplement pas à le résoudre.
J'espère que certains parmi vous le trouveront super facile !

Je cherche à réaliser une piste (cyclable par exemple).
Sa longueur totale doit être strictement 10 000 m (10 km)
La mesure des 10 km est prise au milieu de la piste, qui fait 10 m de large
Donc on ne mesure pas à la corde dans les virages, ni à l'extérieur, mais bien au milieu.
La piste occupe une superficie exactement carrée.



J'ai réalisé ce schéma afin de rendre compte du problème.
Si on juxtapose 9 cercles (les cercles gris), il semble se produire une chose intéressante :
il serait possible de tracer une piste dont les virages (en pointillés noirs, rouges, verts et bleu foncés)
mesureraient exactement 7/16e de la circonférence d'un cercle

Mais c'est quelquechose d'empirique, je ne peux pas le prouver, il y a simplement apparence sur mon schéma. Si c'est inexact, en tout cas l'errreur semble très minime.
Dans ce cas alors, les lignes droites (en violet) mesureraient exactement 4 fois le rayon d'un cercle gris.
Et là où je bloque, c'est comment connaître à coup sûr la longueur exacte d'une diagonale (en bleu clair)

On suppose que l'élévation du pont nécessaire à l'intersection des 2 diagonales ne modifie pas la longueur du tracé.

Donc voilà où j'en suis :
Si r = rayon du cercle
et que y = longueur d'un segment diagonal bleu clair
alors j'ai :
4 virages soit : 4 * (2 * pi * r * 7/16)
2 côtés violets dont la longueur = 4 * r
et 2 "diagonales de longueur inconnue

donc si la longueur total du tracé est de 10 000 m
j'ai :
10 000 = 4 * (2 * pi * r * 7/16) + 8 * r + 2y

quelqu'un pourrait il déterminer la valeur de y ?

un grand merci d'avance à ceux et à celles qui trouveraient ce petit problème intéressant

[Ben314]

Salut,
Si tu appelle A le centre du cercle en bas à gauche, B le point de ce cercle où ta piste part en ligne droite et C le centre du grand carré alors le triangle ABC est rectangle en B vu que la droite (BC) est tangente au cercle.
La longueur AB(=rayon du petit cercle) est connue et AC est facile à calculer : tu en déduit BC=y/2 grâce à Pythagore.

P.S. et si tu veut plus de précision, ton angle, il vaut assez précisément 155,7 degrés (effectivement trés proche de 7/16 de tour qui vaut 157.5 degrés !)

[hyperbowl]

Merci beaucoup, je visualise bien mentalement le triangle rectangle ABC : je m'y colle dès demain sur Illustrator !
Mais si je comprends ton raisonnement par contre je ne connais pas la valeur du rayon (ou de AB).
Tout ce que je connais c'est la longueur totale du tracé : 10 000.

[Ben314]

Tu continue à faire... ce que tu as commencé à faire, c'est à dire à tout exprimer en fonction de r (=rayon des 9 petits cercles).
Par exemple, la longueur AC, elle correspond à la diagonale d'un carré de coté 2r doc elle vaut 2.racine(2).r
Et ça te permet de trouver BC (donc y) en fonction de r.

A la fin, tu as plus qu'à résoudre le_total_trouvé_qui_dépend_de_r = 10 000 (c'est forcément de a forme constante.r=10 000 donc évident à résoudre)
et tu en déduira la valeur qu'il faut prendre pour r.

[hyperbowl]

Bon je suis un peu long à la détente… je réfléchis encore…
Voici le triangle rectangle ABC, où AB correspond au rayon r

[hyperbowl]

Je reprends mon écriture

10 000 = 4 * (2 * pi * r * 7/16) + 8 * r + 2y

Je remplace r par AB ;
Je remplace y par 2AC qui lui-même est égal à 2 * racine(2) * AB ;
(car AC est la diagonale d'un carré de côté AB, donc AC au carré = 2 * AB au carré
AC = 2 * racine(2) * AB
et y = 2AC



Nouvelle écriture :

10 000 = 4 * (2 * pi * AB * 7/16) + 8 * AB + 4 * (2 * racine(2) * AB)
J'obtiens 10 000 = 30,303 AB
Donc AB = 330,0003

Vérification avec r = 330 mètres

1 virage = 906,675 m
1 ligne droite = 1320 m
1 "diagonale" = 1866,76 m

Total tracé = 10 000,22 mètres

Un grand merci

La piste s'insère dans un grand carré de 1980 mètres