par Doraki » 10 Mar 2012, 19:44
En logique on ne part pas *vraiment* à partir de rien (si on part de rien on ne sait pas parler donc on peut pas faire grand chose). Là une "famille" de symboles, c'est un ensemble de symboles. Là je vois pas où est-ce qu'il y a des égalités, il y a juste une définition.
En théorie de la démonstration, on étudie les démonstrations, donc il faut déjà définir ce que c'est qu'une phrase, et pour ça il faut définir de quoi on a le droit de parler.
En fait les phrases vont parler d'objets dans une structure, sur lesquels certaines opérations sont supposées exister, et on va désigner ces objets par des termes.
Par exemple, si ton langage c'est {e,+} où "e" une fonction 0-aire (qui ne prend aucun argument), et "+" est une fonction 2-aire (binaire), les structures que tu vas étudier sont des ensembles M où il y a un objet particulier "e" dans M et une fonction "+" : M * M -> M.
Les termes que tu peux désigner avec rien que ça, c'est les expressions du genre "+(e,e)" ou "+(+(e,e),e)", qu'on note plutôt e+e et (e+e)+e.
Pour faire des phrases, il faut aussi avoir des prédicats. En général on aime bien avoir un prédicat 2-aire "=", c'est à dire qu'on veut une fonction "=" : M * M -> {Vrai ; Faux}
Une fois que t'as un langage et des prédicats, tu peux commencer à faire des phrases simples.
Par exemple tu peux faire la phrase "e+e = e", ou alors la phrase "e+((e+e)+e) = e".
Si tu as une structure M, où tu as donné un sens à e,+, et =, tu peux te poser la question "est-ce que la phrase e+((e+e)+e) = e est vraie dans ma structure M ?".
Pour faire des phrases plus complexes, on se donne des connecteurs logiques (ou, non, et, pour tout, il existe,...)
Et pour faire des démonstrations on se donne des règles de déductions, et un certain nombre de phrases qu'on se donne comme axiomes.
Si on a une structure pour le langage qui vérifie ces axiomes, et si avec les règles de déductions et ces axiomes, on arrive à déduire logiquement une phrase P, ben ça t'assure que la phrase P, quand tu l'interprètes dans ta structure, doit être vraie.
Par exemple, la théorie des groupes, c'est quand ton langage c'est les fonctions e,+, et le prédicat =, et que tes axiomes sont les phrases suivantes :
"pour tout x, (x+e = x et e+x = x)"
"pour tout x, pour tout y, pour tout z, x+(y+z) = (x+y)+z"
"pour tout x, il existe y, x+y = e"
"pour tout x, x=x"
"pour tout x, pour tout y, si x=y alors y=x"
"pour tout x, pour tout y, pour tout z, si (x=y et y=z) alors x=z"
"pour tout x1, pour tout x2, pour tout y1, pour tout y2, si (x1=x2 et y1=y2) alors x1+x2=y1+y2"
Ici, x y z et compagnie sont des noms de variables, on en a besoin quand on utilise les connecteurs logiques "pour tout "et "il existe" et ils permettent de construire des nouveaux termes à utiliser dans les phrases.
Un exemple de truc qu'on peut montrer c'est par exemple qu'il n'y a qu'un élément neutre.
On peut utiliser ces axiomes et les règles de déductions pour démontrer la phrase "pour tout x, si (pour tout y, x+y = y et y+x = y) alors x=e"