Logique mathématique

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
benekire2
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Logique mathématique

par benekire2 » 10 Mar 2012, 18:27

Bonjour à tous ,

Ca fait déjà quelques temps que je voulais lire quelque chose sur la fondation mathématique. Mon but est "simplement" de savoir comment est-ce que on peut construire les mathématiques a partir d'un nombre de choses "admises" restreintes. J'ai donc ouvert un bouquin sur la théorie de la démonstration.

Dans le premier chapitre on s'intéresse au côté syntaxique de la formalisation. Première définition :

" Un langage est la donné d'une famille de symboles. "

Premier problème : C'est quoi une famille ... je trouve pas ça génial !!

Définition un peu plus loin :

L'ensemble des termes sur un langage est le plus petit ensemble contenant les constantes, les variables et stable par l'application des symboles de fonction de à des termes.
Pour obtenir une définition plus formelle on écrit : T(0)={t/ t est une variable ou une constante} et pour tuot k dans N : T(k+1)=T(k) u {f(t1,...,tn), ti appartenants a T(k) et f une fonction de L} on pose alors

C'est ici que s'est arrête ma compréhension !!! On a pas construit N, rien du tout, je ne sais pas ce qu'est un ensemble etc ... on pose machin=truc, mais je sais pas ce qu'est l'égal, bref c'est très confus et ça me laisse penser que je n'arriverais jamais a comprendre de manière complète les fondements ...

Est-ce que quelqu'un aurait des liens vers des cours bien fait, et rigoureux, ou est-ce que quelqu'un connait la réponse aux questions que je me pose ? Est-ce que c'est normal toutes ces absurdités ?

Merci beaucoup !



Doraki
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par Doraki » 10 Mar 2012, 19:44

En logique on ne part pas *vraiment* à partir de rien (si on part de rien on ne sait pas parler donc on peut pas faire grand chose). Là une "famille" de symboles, c'est un ensemble de symboles. Là je vois pas où est-ce qu'il y a des égalités, il y a juste une définition.

En théorie de la démonstration, on étudie les démonstrations, donc il faut déjà définir ce que c'est qu'une phrase, et pour ça il faut définir de quoi on a le droit de parler.
En fait les phrases vont parler d'objets dans une structure, sur lesquels certaines opérations sont supposées exister, et on va désigner ces objets par des termes.

Par exemple, si ton langage c'est {e,+} où "e" une fonction 0-aire (qui ne prend aucun argument), et "+" est une fonction 2-aire (binaire), les structures que tu vas étudier sont des ensembles M où il y a un objet particulier "e" dans M et une fonction "+" : M * M -> M.
Les termes que tu peux désigner avec rien que ça, c'est les expressions du genre "+(e,e)" ou "+(+(e,e),e)", qu'on note plutôt e+e et (e+e)+e.

Pour faire des phrases, il faut aussi avoir des prédicats. En général on aime bien avoir un prédicat 2-aire "=", c'est à dire qu'on veut une fonction "=" : M * M -> {Vrai ; Faux}

Une fois que t'as un langage et des prédicats, tu peux commencer à faire des phrases simples.
Par exemple tu peux faire la phrase "e+e = e", ou alors la phrase "e+((e+e)+e) = e".
Si tu as une structure M, où tu as donné un sens à e,+, et =, tu peux te poser la question "est-ce que la phrase e+((e+e)+e) = e est vraie dans ma structure M ?".

Pour faire des phrases plus complexes, on se donne des connecteurs logiques (ou, non, et, pour tout, il existe,...)
Et pour faire des démonstrations on se donne des règles de déductions, et un certain nombre de phrases qu'on se donne comme axiomes.
Si on a une structure pour le langage qui vérifie ces axiomes, et si avec les règles de déductions et ces axiomes, on arrive à déduire logiquement une phrase P, ben ça t'assure que la phrase P, quand tu l'interprètes dans ta structure, doit être vraie.

Par exemple, la théorie des groupes, c'est quand ton langage c'est les fonctions e,+, et le prédicat =, et que tes axiomes sont les phrases suivantes :
"pour tout x, (x+e = x et e+x = x)"
"pour tout x, pour tout y, pour tout z, x+(y+z) = (x+y)+z"
"pour tout x, il existe y, x+y = e"
"pour tout x, x=x"
"pour tout x, pour tout y, si x=y alors y=x"
"pour tout x, pour tout y, pour tout z, si (x=y et y=z) alors x=z"
"pour tout x1, pour tout x2, pour tout y1, pour tout y2, si (x1=x2 et y1=y2) alors x1+x2=y1+y2"

Ici, x y z et compagnie sont des noms de variables, on en a besoin quand on utilise les connecteurs logiques "pour tout "et "il existe" et ils permettent de construire des nouveaux termes à utiliser dans les phrases.

Un exemple de truc qu'on peut montrer c'est par exemple qu'il n'y a qu'un élément neutre.
On peut utiliser ces axiomes et les règles de déductions pour démontrer la phrase "pour tout x, si (pour tout y, x+y = y et y+x = y) alors x=e"

benekire2
Membre Transcendant
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par benekire2 » 10 Mar 2012, 20:14

Doraki a écrit:
Par exemple, si ton langage c'est {e,+} où "e" une fonction 0-aire (qui ne prend aucun argument), et "+" est une fonction 2-aire (binaire), les structures que tu vas étudier sont des ensembles M où il y a un objet particulier "e" dans M et une fonction "+" : M * M -> M.


Salut Doraki !!

Tu utilise la notion d'application, ça veut donc dire que c'est une notion primitive ?

Doraki
Habitué(e)
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par Doraki » 10 Mar 2012, 20:33

Pas vraiment non, l'application elle est du coté de la structure, c'est du coté sémantique.
Du coté de la syntaxe (le langage, les termes, les phrases), tu n'as que des suites de symboles.

J'en ai juste parlé parceque "les termes c'est juste des suites de symboles" c'est pas une explication très éclairante.

benekire2
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par benekire2 » 10 Mar 2012, 20:47

Doraki a écrit:Pas vraiment non, l'application elle est du coté de la structure, c'est du coté sémantique.
Du coté de la syntaxe (le langage, les termes, les phrases), tu n'as que des suites de symboles.

J'en ai juste parlé parceque "les termes c'est juste des suites de symboles" c'est pas une explication très éclairante.

D'accord, en fait c'est que je calque un peu mes habitudes sur ce que tu as écrit alors que ce n'est censé être qu'une suite de symboles , je crois que je commence à comprendre, mais c'est pas simple :zen:

 

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