La limite d'une suite

[mmm89]

Bonjour à tous.

Je viens à vous pour vous présenter les problèmes qui me sont posés, en espérant que vous pourrez m'orienter.

La suite Un est définie sur N par
u0=1
Un+1=3/4Un+1/4n+1.

1. a. Conjecturer le sens de variation de la suite Un.
b. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a: n<=un<=n+1 .
c. En déduire, en justifiant la réponse, le sens de variation et la limite de la suite Un.
d. Démontrer que : lim (n tends vers +infinie) Un/n=1
2. On désigne par Vn la suite définie sur N par
Vn =Un-n
a. Démontrer que la suite Vn est géométrique de raison 3/4.
b. En déduire que pour tout entier naturel n, on a :
Un=(3/4)^n+n


Mercii