Kolmogorov et le TCL

[4Fun]

Un sombre individu qui ne supporte pas la critique et est incapable de la moindre remise en question s'amuse à prétendre que A. Kolmogorov ne connaissait pas le théorème central limite.
(Il prétends que ce document de l'éducation nationale confirme ses dires.
"argumentation" de sa part.
Si quelqu'un trouve où de tels propos sont tenus je lui tire mon chapeau )

Alors voici quelques arguments qui démontre qu'il s'agit d'une lubie bien étrange.

1) Il a publié avec Gnedenko, en 1954, un livre "Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables" qui est resté pendant des décennies une références sur les extensions du TCL.
C'est une évidence, d'après le titre, pour quiconque comprends le TCL qu'il s'agit bien d'extension de ce théorème fondamental.
Mais enfonçons le clou.

Le livre n'est pas trouvable en pdf sur le web, mais on peut trouver des reviews, par exemple ici. Je cite, milieu de la page 51, parlant du chapitre 4, "From these results there flow, in a natural way, the various forms for the central limit theorems" et un peu plus loin "The penultimate chapter deals with improvements of convergence to the normal distribution".
Une autre ici , je cite le début,
"The history of limit theorems in the theory of probability dates back more than 200 years. Rigorous proofs of limit theorems for sums of arbitrarily distributed independent random variables, however, were first given in the second half of the nineteenth century by Chebyshec. Necessary and sufficient conditions for the central limit theorem were not found until as late as 20 years afo. The book of Gnekendo and Kolmogorov contains an exposition of the results which have been reached up to now in the field of limit theorems for sums of independent real random variables).

Bien entendu tous les résultats de ce livre sont obtenu dans l'axiomatique développé par Kolmogorov, qui est utilisé par tous les probabilistes depuis 50 ans au moins.

2) Quand on cherche des informations sur l'héritage de Kolmogorov (qui est immense) on peut trouver ce genre de propos "La direction dans laquelle Kolmogorov va aborder ses premiers travaux de probabilités, sans
doute guidé par son aîné Khinchin, s’inscrit dans la continuité d’études qui tout au long
du dix-neuvième siècle avaient précisé les conditions de validité des théorèmes limites (en
particulier la loi des grands nombres) pour des sommes de variables aléatoires."
On constate donc que les travaux de Kolmogorov ne sont pas en rupture complète par rapport aux probabilistes qui le précède. Au contraire son axiomatique permet de retrouver et démontrer l'ensemble des résultats déjà connu.

3) le même document explique bien que l'intérêt de l'axiomatique de Kolmogorov est purement technique en permettant d'une part d'éliminer tous les "paradoxes" qui existaient (il n'y a aucun paradoxe dès que les choses sont bien définies) et d'autre part en permettant la construction mathématiques d'objet intuitifs tel que l'espérance conditionnelles.

4) Kolmogorov est un probabiliste reconnu qui a obtenu de nombreux résultats. Son axiomatisation des probabilités n'est qu'un petit éléments de sa carrière. Penser qu'il ignorait un résultat aussi fondamental que le TCL est tout aussi absurde que de penser qu'Einstein ne connaissait pas la théorie de la gravitation Newtonienne...

[Vassillia]

Bonjour 4Fun,

Je me doute de qui tu parles mais si tu veux mon avis, il y a le mot "somme" de variables aléatoires donc on perd instantanément notre sombre individu, faut pas chercher plus loin l'explication.

Pour ceux qui ne se rendent pas compte de l'ampleur du problème, j'ai essayé longuement de lui faire comprendre cette notion sur la table de Galton qui permet de visualiser une somme de variables iid de Bernoulli B(0.5) et pas moyen d'obtenir mieux que :
"La forme du clou et l'imperfection de la bille sont deux variable aléatoires. La somme de ces deux variables produira le trajet de la bille, soit à gauche soit à droite."
"Il est vrai que quand on fait un comptage, on rajoute 1 chaque fois que l'évènement arrive. De là à dire qu'on fait une somme, pour moi, il y a un pas que je ne franchis pas."

Autre exemple pour amuser la galerie comme il se permet de critiquer systématiquement mes réponses sur ce forum. X une variable aléatoire qui peut prendre 5 valeurs réelles. P(X=1) = 0,1 ; P(X=2) = inconnue ; P(X=4) = 0,22 ; P(X=5) = 0,35 et P(X=7) = 0,13
Comment trouver la valeur inconnue ? Il lance son programme qui compare une régression linéaire, un ajustement exponentiel, logarithmique, et hyper logarithmique et en en déduit que ce dernier est le meilleur. Après une longue lutte, par désespoir, je lui fais le calcul de la proba inconnue, de l'esperance et de l'écart-type ce qui était le but de l'exercice. Et paf, il lance son programme de test de normalité qui est juste une blague car il faut regarder la répartition dans 10 classes sachant que la plupart seront vides comme leur amplitude est 2/3 de l'écart type. Démonstration faite que X est "conforme à la répartition normale car il n'est pas possible qu'une simulation avec un générateur de nombres aléatoires ne le soit pas"

Il n'a absolument aucune idée de ce qu'il fait alors évidemment, comme Kolmogorov utilise des termes mathématiques, il est rangé directement dans la catégorie de ceux qui ne connaissent rien au TCL (et aux probabilités du monde réel). S'il était encore en vie, il le prendrait peut-être comme un compliment de la part de ce type d'individu. Bon courage à toi, je continue à te lire comme je regarde Kaamelott où je suis en empathie avec le roi Arthur qui essaye d'expliquer des choses à Perceval (sauf que lui au moins essaye de bien faire).

[4Fun]

Oh, je n'ai aucun espoir qu'il comprenne quoi que ce soit.
Je mets juste en évidence sa mauvaise foi abyssale : il clame haut et fort que Kolmogorov ne connaissait pas le TCL et que c'est écrit dans un document de l'éducation nationale. Ayant fait quelques recherche je préfère les noter quelque part. Il y a deux faits incontestables, et je crois qu'au fond il le sait et a juste une trop haute estime de lui même pour reconnaitre son erreur :
1) rien dans le document en question ne dis que Kolmogorov ne connait pas le TCL
2) Kolmogorov connaissait parfaitement le TCL et ses extensions puisqu'il a écrit un livre qui a fait référence pendant des décennies sur ce sujet

Dans le même genre il ne démord pas que "la fonction P est une loi exponentielle" mais refuse de définir la fonction P en question ou d'apporter le moindre argument justifiant son affirmation. Ca ne l'empêche pas de dire que lui il fait des preuves, contrairement aux mathématiciens.

[beagle]

" d'éliminer tous les "paradoxes" qui existaient (il n'y a aucun paradoxe dès que les choses sont bien définies)"

oui, lorsque le paradoxe est éliminé par définition, il n' ya plus de paradoxe grace à la définition,
hum!

[lyceen95]

Ce type est addictif. Sa betise est si grande qu'on va voir régulièrement ce qu'il écrit, pour découvrir à chaque fois quelle nouvelle énormité il va écrire.
Un peu comme une émission de télé-réalité qu'on pourrait regarder, en se disant : 'Qu'est-ce que c'est nul'.

Personnellement, je me connectais sur son forum tous les jours, pendant plus d'un an.
Finalement, j'ai réussi à décrocher. Je ne suis plus allé voir son forum depuis plusieurs mois. Et je m'en porte beaucoup mieux.

[4Fun]

"Ce type est addictif. Sa betise est si grande qu'on va voir régulièrement ce qu'il écrit, pour découvrir à chaque fois quelle nouvelle énormité il va écrire."

Effectivement. Et le plus incroyable c'est qu'il est persuadé de connaître quelque chose que tous les mathématiciens ignore...

C'est aussi époustouflant de voir à quel point il peut lire de travers les documents. Un document dis
"La démonstration moderne s'appuie sur l'axiomatique de Kolmogorov, la démonstration de Bernoulli est plus longue mais apporte un éclairage intéressant". Il en déduit "Kolmogorov ne connaissait pas les travaux de Bernoulli"...

[Vassillia]

Contrairement à toi 4fun, je pense (mais je peux me tromper) qu'il a un complexe d'infériorité et son attitude méprisante envers tout ce qu'il ne connait pas l'aide à se donner la contenance dont il a besoin pour se sentir exister. Il aurait aimé pouvoir répondre à des étudiants sur les forums, mettre en avant son savoir professionnel et ses programmes (j'ai lu celui sur le redressement de façade et je pense que c'est lui qui l'a écrit même si je doute qu'il sache d'où viennent les formules). Cet échec est sans doute une blessure profonde chez lui.

En maths, il faut imperativement comprendre ce que l'on fait mais lui n'en voit pas l'intérêt, il n'y a que le résultat qui compte, la beauté d'une démonstration lui échappe, le langage formel inconnu est juste un obstacle inutile... Initialement c'était sûrement juste un biais d'ancrage lié à la manière dont il a appris son métier mais maintenant l'escalade dans l'engagement a été tellement loin qu'il ne peut plus faire marche arrière. Alors il reste dans un biais d'auto-complaisance qui fait que nous sommes (tous autant que nous sommes dès qu'on parle maths) la cause de ses malheurs puisqu'il a forcément raison.

Ceci étant dit, je ne vais pas le plaindre, il a cherché ce qui lui arrive et si tu veux continuer à rigoler, ce n'est pas moi qui irait te le reprocher. Comme je n'ai aucune culture en histoire des maths, tes recherches n'auront pas été complètement vaines, puisque j'ai appris quelque chose grâce à toi donc merci.

[lyceen95]

Il y a un peu de ça.
Il a appris les probas dans le cadre de sa formation de géomètre. Il a donc appris quelques notions, orientées pour son futur métier de géomètre.
Avec plein d'impasses dans cette formation, forcément. La notion de variable aléatoires indépendantes ... le mot indépendante est primordial dans cette notion, mais dans le cadre de cette formation, on peut faire l'impasse sur ce mot.
Il a fait sa carrière de géomètre, a priori compétent.
Quand il avait 55 ou 60 ans, il a vu apparaître internet, et les forums, avec des étudiants qui demandent qu'on les aide.
Il a voulu aider sur ces notions de probabilité, ça partait d'une bonne intention, mais il expliquait des trucs faux à des étudiants plus compétents que lui. Comme il a un caractère de cochon, c'est parti en vrille un certain nombre de fois.
Il s'est fait viré de tous les forums possibles et imaginables. Et il est devenu très aigri.
Comme en plus des marionnettistes jouent avec lui, lui font croire qu'il est dans le vrai, c'est devenu un cas désespéré.

[4Fun]

Ah je viens de voir que pour justifier ses divagagtions il s'appuie sur cette phrase

"La démonstration “moderne” dans la théorie axiomatique de Kolmogorov repose sur une majoration assez grossière donnée par la formule de Bienaymé - Tchebychev, majoration peu utile en pratique.""

Alors, enfonçons des portes ouvertes :
1) cette phrase ne parle jamais de Kolmogorov, mais d'une démonstration. On ne peut donc rien en déduire sur ce que Kolomogorov connaissait ou non.
2) le fait que la démonstration "moderne" ne soit pas la même que celle faites par Bernoulli n'indique en rien que les résultats n'étaient pas connus. Dans de très nombreux cas la démonstration d'un résultat quelconque utilisé dans les cours récents n'est pas la démonstration originale...

-->an aucun cas ce document ne peut servir à justifier l'affirmation selon laquelle Kolmogorov ne connait pas le TCL.

Il affirme ensuite
" il ne connait pas le second théorème de Bernoulli qui dit que toute expérience de même loi produit une répartition des valeurs du résultat conforme à la loi normale"
Alors déjà ce qu'il appelle "second théorème de Bernoulli", d'après le vieux pdf qui lui sers de référence, n'est autre que le théorème de Moivre Laplace qui est le TCL dans le cas particulier où on considère des variables de Bernoulli. Et on a vu que Kolmogorov a co-écrit un livre entier sur des extensions du TCL.

Maintenant il est vrai que "toute expérience de même loi produit une répartition des valeurs du résultat conforme à la loi normale" n'a aucun sens mathématique et qu'il n'a jamais été capable de formuler rigoureusement cette affirmation à laquelle il croit dur comme fer. L'interprétation la plus naturelle de cette phrase obscure est "tout tirage aléatoire suis une loi normale".
Alors, enfonçons des portes ouvertes à nouveau :
- un tirage de nombres entiers ne suis pas et ne pourras jamais suivre une loi normale
- un tirage de nombre uniforme (par exemple rand() ) ne suis pas et ne suivras jamais une loi normale
- la durée de vie d'un atome radioactif ne suis pas et ne suivras jamais une loi normale
...

"Contrairement à toi 4fun, je pense (mais je peux me tromper) qu'il a un complexe d'infériorité et son attitude méprisante envers tout ce qu'il ne connait pas l'aide à se donner la contenance dont il a besoin pour se sentir exister."

Peut être. J'ai du mal à y croire quand on voit la manière systématique qu'il a d'accuser ses interlocuteurs de ses propres torts, sa capacité à répéter mensonges sur mensonges - même quand on lui démontre le contraire, et son incroyable biais de confirmation : il fait dire à un texte quelconque tout sauf ce qu'il dis (comme on le voit ci dessus).

[Vassillia]

Ah cette horrible histoire de loi normale, je ne me suis toujours pas remise de ce qu'il fait à ce pauvre tirage de nombres uniformes pour qu'il soit conforme à ce qu'il a envie en changeant totalement de variable aléatoire au passage. Mais de toute façon, sur 1000 tirages, observer des fréquences de 35% et 0% alors que son hypothèse de loi normale donne 25% et 16% ne lui pose pas de problème. Il n'a pas de critère de non conformité donc forcément c'est conforme ou alors ce n'est pas une expérience du monde réel. CQFD, non ? Je plaisante bien sûr, c'est insensé de faire un test de normalité qui ne peut donner qu'une réponse positive.

Le test du chi2 d'adéquation à une loi uniforme que je lui ai explicité est ridicule il parait car je ne compare qu'une valeur. Petite explication : cette valeur est la p-value quand même, dans l'idée sans faire trop de maths, cela correspond à la probabilité d'obtenir des differences au moins aussi grandes que celles observées si notre hypothèse sur la loi est vraie. Autrement dit, plus c'est petit, plus on peut penser que le hasard seul n'a pas pu donner de telles différences entre la pratique et la theorie donc on finit logiquement par douter de notre hypothèse.

J'aime beaucoup le "il y a une astuce de traitement que je n'ai pas expliqué" pour le redressement de perspective. Effectivement, comprendre et pouvoir expliquer ce que l'on fait dans un langage compréhensible est une astuce bien pratique pour ne pas raconter n'importe quoi. Heureusement que certains la connaissent sans avoir besoin de lui sinon on en serait toujours au point où personne ne sait ce qu'il fabrique.