Un jeu paradoxal

[leon1789]

Bonjour

Dans une émission TV (pourquoi la TV ?...), l'animateur propose à un candidat deux enveloppes contenant chacune un chèque (à l'ordre du candidat !) dont les montants ont été préalablement choisis de manière indépendante et en suivant la loi de probabilité donnée par P( Montant = k euros ) = 1/k(k+1) .
Autrement dit, sur chaque chèque, il y a
une probabilité de 1/2 pour qu'il y soit inscrit 1 euro,
une proba de 1/6 pour qu'il y soit inscrit 2 euros,
une proba de 1/12 pour qu'il y soit inscrit 3 euros, etc.
On vérifie facilement que P( Montant = k euros ) = 1/k(k+1) est bien une loi aléatoire car .

Le candidat choisit au pif une des deux enveloppes, il l'ouvre et il lit un montant de M euros inscrit sur ce chèque découvert.
Alors l'animateur prend la parole et propose au candidat de laisser tomber ce premier chèque (donc de ne pas l'encaisser) mais de tenter sa chance sur la seconde enveloppe pour encaisser le second chèque encore inconnu (d'une valeur k inconnue). De plus, l'animateur précise que, si le montant k du chèque caché est 4^M euros ou davantage (belle somme...) alors le candidat perdra tout !

Résumons. Dans aucun cas de figure, le candidat ne perd d'argent : il peut gagner M (s'il se satisfait de la première enveloppe, sans ouvrir la seconde enveloppe) ou k (si la seconde enveloppe contient moins de 4^M) ou 0 (si la seconde enveloppe contient 4^M ou davantage).

Est-ce que le candidat doit refuser la proposition de l'animateur en gardant le chèque découvert n°1 ou bien accepter l'offre en espérant gagner davantage avec le chèque inconnu n°2, quitte à tout perdre ?

A première vu la réponse est non, puisque initialement les montants des deux chèques ont été fixés de manière indépendante et en suivant une même loi, donc il n'y a pas de raison particulière de changer d'enveloppe, surtout si euros : pourquoi la seconde enveloppe contiendrait davantage que la première puisqu'elle a une proba de 0.5 de contenir un chèque de 1 euro seulement ? ...sans oublier qu'il y a un risque de tout perdre bêtement si le montant du second chèque est énorme...

Mais que disent les probabilités ? Il faut calculer l'espérance de gain sur le second chèque encore inconnu : pour , donc ... le candidat augmente son espérance de gain en changeant d'enveloppe quel que soit le montant du premier chèque ! :doh: :doh:
(et s'il avait choisi l'autre enveloppe en premier, on aurait dit la même chose...)

Complètement paradoxal, non ?

Exemples :
- Si M=1, alors l'espérance E(1) sur le second chèque est
E(1) = 1 . 1/2 + 2 . 1/6 + 3 . 1/12 = 1/2 + 1/3 + 1/4 = 13/12 > 1.08 > M

- Si M=2, alors l'espérance E(2) sur le second chèque est
E(2) = 1 . 1/2 + ... + 15 . 1/240 = 1/2 + ... + 1/15 = 1715839/720720 > 2.38 > M

- Et quand M augmente, l'espérance E(M) se rapproche très vite (exponentiellement) vers où est la constante d'Euler ().

[fatal_error]

slt Leon,

je suis pas allé dans les calculs, mais le gain, si k > 4^M il est négatif nan?
Jo part avec M de départ.

Si dans l'enveloppe il trouve M2.
En vrai ce qu'il touche, c'est M2-M.

Si il trouve un truc > 4^M, il se prend un -M!

[leon1789]

je suis pas allé dans les calculs, mais le gain, si k > 4^M il est négatif nan?
Jo part avec M de départ.

Si dans l'enveloppe il trouve M2.
En vrai ce qu'il touche, c'est M2-M.

Si il trouve un truc > 4^M, il se prend un -M!

Les calculs sont corrects (en tout cas, j'ai essayé de ne pas me tromper, et dans le cas contraire, mon histoire n'aurait pas d'intérêt).

M est le montant connu du premier chèque ; le candidat peut remplacer ce montant par celui du second chèque.

Si k (le montant du second chèque) est supérieur à 4^M, le candidat ne gagne rien, alors qu'il aurait qu'il aurait pu gagner M euros avec le premier chèque.
De même, si k 4^M, c'est quand même peut probable...

[fatal_error]

Effectivement, la prise en compte de M ne change rien puisque
E=S(1,infty) gain(k)/(k(k+1))
si on a gain(k) = k-M pour tout k, alors MS(1/k(k+1))==M et ca revient à ignorer la somme qu'on a obtenue au premier chèque.

[leon1789]

E=S(1,infty) gain(k)/(k(k+1))

pourquoi sommer jusqu'à l'infini et pas s'arrêter à 4^M-1 puisque le gain est nul à partir de 4^M ?

si on a gain(k) = k-M pour tout k, alors MS(1/k(k+1))==M

là, je ne comprends pas ton MS(1/k(k+1))==M

[fatal_error]

si on s'intéresse à ce que jo gagne effectivement.
Il part de 0.
A la fin du premier jeu, il empoche M euros.

2 methodes de calculs :
1) pour jouer au deuxieme cheque, il paie M euros.
Son gain final pour k donné est donc k-M

2) on n'incorpore pas le prix pour jouer au deuxieme jeu.
Son gain pour k donné est k.

Son gain final est donné par k-M

pourquoi sommer jusqu'à l'infini et pas s'arrêter à 4^M-1 puisque le gain est nul à partir de 4^M ?

Ben ca dépend. Si on fait comme dans 1), le gain est pas nul, il est négatif.
Si on calcul l'espérance, on a gainFinal = E = S(1,infty) gain(k)P(k) = S(1,4^M) (k-M)P(k) + S(4^M+1,infty) -MP(k) = -M + S(1,4^M) kP(k)

Si on fait méthode 2, on a E=S(1,infty) gain(k)P(k) = S(1,4^M)kP(k)
gainFinal = E - M

[leon1789]

Je ne comprends pas ton (tes) raisonnement(s) à cause du mot "gain final" : pour moi le gain final est le gain de M au premier chèque + gain/perte k-M à l'éventuel second chèque. J'ai l'impression que tu ne fais pas la somme, mais tu ne retiens que l'étape du second chèque avec k-M.

Le gain total ne peut pas être négatif : le candidat arrive les mains dans les poches, prend un premier chèque (M euros), puis décide d'ouvre ou pas la seconde enveloppe. Dans tous les cas, le candidat repart avec M, k ou 0 euros.

[fatal_error]

Dans méthode 1:
Dans un cas je considère qu'on a M euros.
et j'oublie qu'on vient de piocher M.
On a M euros. Et le jeu attribue (k-M) avec une proba de 1/(k(k+1))

Dans méthode 2: c'est comme toi.

Le gain total ne peut pas être négatif :

oui. Mais dans méthode 1, le gain du jeu peut-être négatif. Pas la somme d'euros, appelée gain total qu'on a à la fin.

[leon1789]

Ok, mais tu es d'accord que les deux méthodes arrivent au même résultat, hein ?

Et cela n'explique pas le paradoxe, si ??

[fatal_error]

oui les deux méthodes amènent au même résultat
et ca n'explique en rien le paradoxe!

[leon1789]

oui les deux méthodes amènent au même résultat
et ca n'explique en rien le paradoxe!

ok ! :we:

[fatal_error]

Si on trace une courbe on a un truc genre

Code: Tout sélectionner

------------------------->
1----M-----4^M-------infty

Clairement, si on tombe dans F=[4^M;infty[ on est perdant, paske on touche 0 euros.

La proba de tomber dans F, c'est



et par téléscopie, du coup

cqui est relativement petit!


Ca explique pas le paradoxe, mais ca pondère pas mal le fait qu'on peut tirer k à l'infini...ce qui était déjà dit à 18h19 :happy2:

De la même manière, si on tombe dans G=[1;M] on est perdant, et la proba associée est

c'est surtout là que c'est intéressant de pondérer avec le gain!

[leon1789]

cqui est relativement petit!

Ca explique pas le paradoxe, mais ca pondère pas mal le fait qu'on peut tirer k à l'infini...ce qui était déjà dit à 18h19 :happy2:

Effectivement, le risque de toucher 0 est très petit dès que M=3 ou plus... et pour M=2, ça fait une proba de 1/16 , ce qui est tout de même faible.
Donc quand l'animateur dit "attention, si k > 4^M alors vous perdez tout", ça fait peur, mais cela n'a qu'un impact que l'on peut considéré négligeable.
Pour M=1, ça fait quand même une proba de 1/4...

De la même manière, si on tombe dans G=[1;M] on est perdant, et la proba associée est

c'est surtout là que c'est intéressant de pondérer avec le gain!

je dirais G=[1,M-1] (pour M, on n'a pas rien perdu puisqu'on touche toujours M) et du coup la proba (ce qui est assez élevé, en tout cas , sauf pour M=1 , oeuf corse :lol3: ).

Et puis il y a la proba de gagner plus que M ! Et effectivement, il faut pondérer tout ça avec le gain. :lol3: C'est le calcul que j'ai fait : il en résulte que l'espérance E est strictement supérieur à M. :doh:

[leon1789]

cqui est relativement petit!

Ca explique pas le paradoxe, mais ca pondère pas mal le fait qu'on peut tirer k à l'infini...ce qui était déjà dit à 18h19 :happy2:

Effectivement, le risque de toucher 0 est très petit dès que M=3 ou plus... et pour M=2, ça fait une proba de 1/16 , ce qui est tout de même faible.
Donc quand l'animateur dit "attention, si k > 4^M alors vous perdez tout", ça fait peur, mais cela n'a-t-il qu'un impact que l'on pourrait considérer négligeable ? A voir.
Pour M=1, ça fait quand même une proba de 1/4...

De la même manière, si on tombe dans G=[1;M] on est perdant, et la proba associée est

c'est surtout là que c'est intéressant de pondérer avec le gain!

je dirais G=[1,M-1] (pour M, on n'a pas rien perdu puisqu'on touche toujours M) et du coup la proba (ce qui est assez élevé, en tout cas , sauf pour M=1 , oeuf corse :lol3: ).

Et puis il y a la proba de gagner plus que M ! Et effectivement, il faut pondérer tout ça avec le gain. :lol3: C'est le calcul que j'ai fait : il en résulte que l'espérance est strictement supérieur à M. :doh:

[leon1789]

cqui est relativement petit!

Ca explique pas le paradoxe, mais ca pondère pas mal le fait qu'on peut tirer k à l'infini...ce qui était déjà dit à 18h19 :happy2:

Effectivement, le risque de toucher 0 est très petit dès que M=3 ou plus... et pour M=2, ça fait une proba de 1/16 , ce qui est tout de même faible.
Donc quand l'animateur dit "attention, si k > 4^M alors vous perdez tout", ça fait peur, mais cela n'a-t-il qu'un impact que l'on pourrait considérer négligeable ? A voir.
Pour M=1, ça fait quand même une proba de 1/4...

De la même manière, si on tombe dans G=[1;M] on est perdant, et la proba associée est

c'est surtout là que c'est intéressant de pondérer avec le gain!

je dirais G=[1,M-1] (pour M, on n'a pas rien perdu puisqu'on touche toujours M) et du coup la proba (ce qui est assez élevé, en tout cas , sauf pour M=1 , oeuf corse :lol3: ).

Et puis il y a la proba de gagner plus que M ! Et effectivement, il faut pondérer tout ça avec le gain. :lol3: C'est le calcul que j'ai fait : il en résulte que l'espérance est strictement supérieur à M. :doh:

[Doraki]

La stratégie "ne jamais changer d'enveloppe" et la stratégie "toujours changer d'enveloppe" on toutes les deux une espérance de gain infinie,
Et plus intéressant, l'espérance de leur différence n'est pas sommable, ce qui explique qu'on peut avoir l'impression qu'il faut toujours changer ou non selon la manière dont on fait cette somme (donc selon la manière dont on raisonne).

On pourrait essayer de départager les deux stratégies en posant des questions du genre "quel est l'espérance du nombre de fois qu'il faut jouer pour gagner au moins N euros ?"

[leon1789]

La stratégie "ne jamais changer d'enveloppe" et la stratégie "toujours changer d'enveloppe" on toutes les deux une espérance de gain infinie,

oui c'est vrai.

Cela dit, expérimentalement (c'est-à-dire en évitant les situations très peu probables), comme on peut s'en douter "ne jamais changer d'enveloppe" est tout de même plus raisonnable que "toujours changer d'enveloppe" : de manière assez étonnante (je trouve), le fait de tout perdre à partir de 4^M coule (expérimentalement) d'un grand coup les gains de la seconde stratégie.

Et plus intéressant, l'espérance de leur différence n'est pas sommable, ce qui explique qu'on peut avoir l'impression qu'il faut toujours changer ou non selon la manière dont on fait cette somme (donc selon la manière dont on raisonne).

Tu veux dire que ne converge pas ?

On pourrait essayer de départager les deux stratégies en posant des questions du genre "quelle est l'espérance du nombre de fois qu'il faut jouer pour gagner au moins N euros ?"

assez facile pour N petit, mais pas évident pour N quelconque, surtout pour la seconde stratégie.

Et puis il y a toutes les stratégies qui consistent à tirer la seconde enveloppe uniquement quand le montant du premier chèque appartient à un ensemble prédéfini (genre [1....truc] , ou [truc... infini[)

[Doraki]

oui c'est vrai.

Cela dit, expérimentalement (c'est-à-dire en évitant les situations très peu probables), comme on peut s'en douter "ne jamais changer d'enveloppe" est tout de même plus raisonnable que "toujours changer d'enveloppe" : de manière assez étonnante (je trouve), le fait de tout perdre à partir de 4^M coule (expérimentalement) d'un grand coup les gains de la seconde stratégie.


Tu veux dire que ne converge pas ?

que ne converge pas, où M2' = 0 si M2 >= 4^M1 et M2 sinon.
Et que selon l'ordre dans lequel on additionne les trucs on peut faire faire tout ce qu'on veut à cette somme.

Tu peux sommer chaque sous-somme à M1 constant (pour obtenir que sachant M1, M1 < E[M2'] < infini) puis conclure qu'il faut toujours changer ;
Et sinon tu peux sommer d'abord les paires (M1=a, M2=b) et (M1=b, M2=a) (pour obtenir que sachant {M1;M2}, E[M2] <= E[M1]) puis conclure qu'il faut toujours garder.

[leon1789]

ok :zen:
Si je comprends bien, la seconde manière d'estimer les 2 espérances en connaissant la paire {M1, M2} viendrait plutôt du bon sens commun, qui pousse à ne pas ouvrir la seconde enveloppe.

[nuage]

Salut,

La stratégie "ne jamais changer d'enveloppe" et la stratégie "toujours changer d'enveloppe" on toutes les deux une espérance de gain infinie,[...]

C'est faux.
Une fois tiré la première enveloppe, la valeur de la première stratégie est fixée.