Inverse à gauche à droite

[kazeriahm]

Cela ne te dispense pas de dire bonjour, comme les autres membres!

Bon pour reprendre la discussion fermée hier soir, il y a un résultat que je trouve très intéressant :


dans un anneau unitaire , si un élément a un inverse à gauche et aucun inverse à droite, alors a une infinité d'inverse à gauche, donnés par la suite de terme général

,

Ces inverses à gauche sont deux à deux distincts

[Nightmare]

Salut !

Qui est y ? Une inverse de x je suppose !

[Nightmare]

Ce qui est marrant aussi, c'est qu'aucune des inverses à gauche de x ne sont inversibles à gauche !

[kazeriahm]

S'ils l'étaient, x serait inversible à droite

[Nightmare]

exactement !

[Finrod]

Intuitivement, les anneaux de fonctions fonctionnent comme cela.

Si uun espace X s'injecte dans un espace plus gros Y par une fonction $f$, $f$ peut avoir un inverse à gauche qui sera une surjection de Y dans X mais ne peut pas avoir d'inverse a droite, car cela impliquerai que $f$ est surjective et donc bijective...

[jojo22797]

Dans quel anneau de fonctions vivent ton f:X->Y et son inverse à gauche ?

[jojo22797]

S'ils l'étaient, x serait inversible à droite

Comment fais-tu ?

Merci d'avance

[Ben314]

y un inverse à gauche de x : yx=1
Si y inversible à gauche, il existe z tel que zy=1
d'où z=z.1=z(yx)=(zy)x=1.x=x donc 1=zy=xy et x est inversible à droite

[jojo22797]

y un inverse à gauche de x : yx=1
Si y inversible à gauche, il existe z tel que zy=1
d'où z=z.1=z(yx)=(zy)x=1.x=x donc 1=zy=xy et x est inversible à droite

Merci Ben314

[Pafapafadidel]

Ya un truc que je ne pige pas. Ce résultat dit que si x possède un inverse à gauche mais pas à droite, alors il y a une infinité d'inverses à gauche deux à deux distincts. Mais si A est de cardinal fini? J'imagine que ce n'est pas possible, mais pourquoi?

[Ben314]

Tu as une première preuve d'impossibilité que tu donne toi même....
Si tu en veux une seconde (pas par l'absurde), tu peut considérer celle là :

Soit x admetant un inverse à gauche y : yx=1
L'application t->xt est injective (car xt=xt' => t=yxt=yxt'=t') donc bijective (car A est fini) et il existe un t tel que xt=1.

[kazeriahm]

Soit x admetant un inverse à gauche y : yx=1
L'application t->xt est injective (car xt=xt' => t=yxt=yxt'=t') donc bijective (car A est fini) et il existe un t tel que xt=1.

C'est cet argument qui permet de démontrer un autre résultat sympa :

si G est un groupe et si H est un sous ensemble de G fini non vide et stable par multiplication alors H est un sous groupe de G

[Pafapafadidel]

En ramenant l'étude des inverses a gauche de x a celle des diviseurs de 0 a gauche de x, j'arrive a prouver qu'ils sont tous inverses a gauches et deux a deux distincts. De plus, je pense avoir réussi a prouver que tous les inverses a gauche de x sont de la forme y+a(1-xy) (en quotientant A par l'idéal a gauche engendré par (1-xy) et en vérifiant que tous les diviseurs de 0 de x a gauche appartiennent a cet idéal).

Pour "l'unicité" par contre, je suis completement perdu. Je pense avoir une piste en montrant que les diviseurs de 0 a gauche de (1-xy) sont de la forme avec a non diviseur de 0 a gauche de (1-xy).

Je n'ai jamais étudié les anneaux non commutatifs, donc je ne suis sûr de rien. Vous auriez quelques pistes pour continuer?

[Ben314]

En ramenant l'étude des inverses a gauche de x a celle des diviseurs de 0 a gauche de x, j'arrive a prouver qu'ils sont tous inverses a gauches et deux a deux distincts. De plus, je pense avoir réussi a prouver que tous les inverses a gauche de x sont de la forme y+a(1-xy) (en quotientant A par l'idéal a gauche engendré par (1-xy) et en vérifiant que tous les diviseurs de 0 de x a gauche appartiennent a cet idéal).

C'est parfaitement O.K.
Dans la preuve, il n'est pas vraiment utile de quotienter A par un idéal à gauche (le résultat n'est plus un anneau : il faut quotienter par un idéal bilatère pour que le quotient soit un anneau).
En fait il suffit d'écrire pour montrer que les diviseurs de 0 à gauche de sont de la forme

Pour "l'unicité" par contre, je suis completement perdu. Je pense avoir une piste en montrant que les diviseurs de 0 a gauche de (1-xy) sont de la forme avec a non diviseur de 0 a gauche de (1-xy).

Là, je ne vois pas trop ce que tu cherche à faire...
Je pense que tu as mal compris ce que disait kazeriahm dans son premier post : les sont bien des inverses à gauche de distincts, mais ce ne sont pas forcément les seuls inverses à gauche de .
Pour t'en convaincre, regarde sur un exemple :
Soit l'espace vectoriel formé des suites réelles dont tout les termes sont nuls à partir d'un certain rang.
On prend pour l'anneau des endomorphismes de et on considère les éléments suivants de :


Vérifie que et un inverse à gauche de puis que les inverse à gauche de ne sont pas tous de la forme

[Pafapafadidel]

Ce ne sont pas les seuls!!! Et dire que sa fait une semaine que j'essaie de le prouver...

En tout cas merci de ta réponse, et pour l'exemple, qui est tres clair.