Salut,
Le logarithme
néperien, l'une des façon de le définir, c'est de dire que c'est l'unique primitive s'annulant en t=1 de
.
Si tu n'as pas vu ce qu'est une primitive, ça signifie que, si
,
c'est la surface comprise entre les droites d'équation
et
, au dessus de l'axe des
, en dessous de la courbe de
(fait un dessin, j'ai la flemme...)
Et le réel
(*) c'est la valeur qu'il faut prendre pour que
, c'est à dire la valeur qu'il faut prendre pour
dans la définition ci-dessus pour que la surface fasse précisément
. Ca permet déjà de voir le réel
comme ayant une propriété "remarquable" (surface sous la courbe =1).
Un autre point de vue (qui en fait est le même mais il faut un petit calcul pour s'en apercevoir), c'est que, pour tout
et tout
réel on arrive à définir la quantité
(sans utiliser ni log ni exponentielle : c'est un peu chiant, mais faisable...) et on peut montrer que la dérivée de la fonction
est une fonction de la forme
où
est une constante qui dépend de
. Évidement, on se dit que ça serait pas con de prendre
de façon à ce que la constante
soit la plus simple possible et, en fait, si on veut que
, ben il faut prendre
ce qui le rend de nouveau "remarquable".
Dixit
Wiki, "Ce nombre est défini à la fin du XVIIe siècle, dans une correspondance entre Leibniz et Christian Huygens comme étant la base du logarithme naturel."
Concernant "à quoi est égale la fonction ln(x)", tu as une des réponse possible ci dessus (i.e. surface sous la courbe de
) et il y en aurai de nombreuses autres.
Je ne sais pas précisément comment fait la calculette pour calculer ln(x) vu qu'il y a beaucoup de méthodes possible plus ou moins compliquées à mettre en œuvre. J'opterais bien pour le fait qu'elle connait "par cœur" quelques valeurs (une dizaine ? plus ?) et qu'elle a un algorithme pour en déduire les valeurs de toute les autres à partir de celles là.
A la main, c'est pareil, il y a des tas de méthodes plus ou moins compliquées (et en conséquence plus ou moins rapides...) Une qui n'est pas compliquées du tout (et pas rapide du tout...), c'est d'estimer la surface sous la courbe en la découpant approximativement en un certain nombre de rectangles.
Enfin, pour comprendre la différence entre le logarithme
népérien et le logarithme
décimal , le plus simple, c'est de faire le lien entre les deux premiers paragraphes ci dessus : lorsque tu te donne un
, la fonction
est appelée
exponentielle de base a et sa bijection réciproque
est appelé
logarithme de base a (donc, par définition,
si et seulement si
).
Le log
népérien correspond à
et le log
décimal correspond à
.
Mais on peut aussi utiliser des log en d'autre base. Par exemple, très naturellement, en informatique, on utilise le logarithme de base 2.
(*) Parfois appelé "constante de Néper" ou bien "nombre d'Euler", mais ce dernier nom est un peu pourri vu qu'il y a d'autres trucs qui s'appellent les "nombres d'Euler" et même une "constante d'Euler" qui n'ont que peu de rapport avec
.