Integrale !

[otmaneo]

Bonjour, Je vous propose un vrais défis de maths ,que je n'ai arrivé à le résoudre, Merci d'essayer de votre part et de proposer quelques solution, si vous en trouver quelques unes.

[Black Jack]

e^(x.ln(x)) = x^x

On ne peut pas exprimer une primitive de f(x) = x^x avec une somme finies de fonctions élémentaires.

Par contre, on peut facilement approcher la valeur de l'intégrale par des méthodes numériques.

:zen:

[otmaneo]

Ca veut dire qu'il n'y a pas de solution ? !

[Black Jack]

Bien sûr que si, l'intégrale a une valeur bien définie.

Mais on ne peut pas calculer cette valeur via une "formule" de primitive employant une somme finie de fonctions élémentaires.

La valeur de l'intégrale peut être approchée par des méthodes numériques.

:zen:

[Robic]

L'une de mes marottes, c'est d'inventer des exercices faisables en terminale d'après le programme, mais extrêmement difficiles... En voici un qui est très simple à faire avec les notions de bac+2 mais qui m'avait obligé à pas mal réfléchir pour me limiter aux notions du lycée.

Je suis parti d'un exercice trouvé sur des annales de bac où l'on étudiait la fonction x-->(ln x)². Je me suis demandé ce qui se passait avec (log x)^n. Je le donne sans indication (sinon ce n'est pas un défi...)

Pour tout on définit la fonction par et on note la courbe d'équation .

a) Montrer que toute les courbes sont concourantes en exactement deux points A et B (on notera A celui de plus petite abscisse).

b) On note l'aire comprise entre l'axe des abscisses et entre A et B (bref, c'est l'intégrale). Montrer que (résultat qui pourrait surprendre puisque est non-nul en B).

La difficulté de la question b) est qu'on n'a pas le droit d'intervertir la limite et la signe d'intégration puisque, en terminale, on ne connaît pas les critères pour le faire.

Edit : je viens de me rendre compte qu'il y a un forum pour les défis, zut. Cela dit mon message n'est pas vraiment un défi (je ne vous demande pas de le relever, je voulais juste partager avec vous cet énoncé), il est plus dans la continuité du message d'otmaneo qui parlait d'intégrale.

[chan79]

mon message n'est pas vraiment un défi (je ne vous demande pas de le relever, je voulais juste partager avec vous cet énoncé), il est plus dans la continuité du message d'otmaneo qui parlait d'intégrale.

Avec une intégration par parties, on trouve
Cela permet d'expliciter (même si l'expression obtenue n'est pas très simple)



Ca ne donne pas la limite.

[Ben314]

b) On note l'aire comprise entre l'axe des abscisses et entre A et B (bref, c'est l'intégrale). Montrer que (résultat qui pourrait surprendre puisque est non-nul en B).

A mon avis, d'avoir pris une fonction convexe (le log en l'occurrence), ça "tue" pas mal l'exo : tu le majore bêtement par la corde qui relie les deux extrémités et c'est fini vu qu'on intègre (ax+b)^n sans problèmes.

ça serait un peu plus intéressant (à mon avis) avec une fonction concave...

[Ben314]

Salut,

Perso, je ferais come ça :

est convexe () donc la courbe de g est en dessous de la corde entre 1 et :

(Et cette inégalité peut se montrer sans connaitre la notion de convexité en dérivant la différence entre les deux membres)

Il s'ensuit que :


Et c'est suffisant vu que la suite est décroissante.

[Robic]

Waou, c'est astucieux tout ça !

Ce que j'avais fait avait été guidé par le dessin : la courbe semble se plaquer contre l'axe des abscisses entre 1 et e, e non compris, et contre la droite {x = e} pour x=e. Du coup ça me suggérait de découper l'intégrale en deux : sur [1;u] et sur [u;e] où u est un certain nombre dans ]1;e[, et ensuite je compte majorer la fonction, j'écrirais alors que l'intégrale de la fonction est inférieure à l'intégrale du majorant. Par exemple : qui tend vers 0 puisque tend vers 0. Mais ça ne marche pas pour : le majorant est toujours 1.

D'où l'idée de choisir, non pas u, mais de sorte que tend vers e. Ainsi, l'intégrale de gauche tendra vers 0 parce que son majorant tend vers 0, et l'intégrale de droite tendra vers 0 parce que la largeur de l'intervalle d'intégration tend vers 0 (c'est en fait ça qui m'a été suggéré par le dessin, pas le fait de bêtement couper en deux). Encore faut-il trouver qui tend vers e, mais pas trop vite afin que tende bien vers 0 (et non vers 1 par exemple). Et là ce n'est pas évident, d'autant qu'on ne peut pas calculer grand chose. Par exemple j'avais essayé et je ne sais plus si c'était incalculable (probablement) ou si ça ne marchait pas.

L'idée m'est venue en regardant le dessin où figurait la courbe à côté de la courbe : définir comme étant la valeur qui maximise entre 1 et e (l'endroit où la courbe s'écarte le plus de la courbe ). Ainsi, je me doute que va tendre vers 0 et non pas vers 1 (si ça tendait vers 1, la distance maxi entre les deux courbes tendrait vers 0, impossible d'après le dessin). De plus je vois bien, en faisant augmenter n, que augmente et s'approche de e. Reste juste à faire les calculs.

En étudiant on trouve un maximum pour exp. On peut démontrer que ce nombre appartient bien à ]1;e[ et que sa limite est bien e. De plus : qui tend bien vers 0. (Tous ces calculs de limite sont faisables en terminale : celle de nécessite de connaître la limite en 0 de , qu'on voit en terminale, et la limite de n'est pas indéterminée.)

Bref, on peut maintenant écrire :
- qui tend vers 0 parce que tend vers 0.
- tend vers 0 parce que l'intervalle d'intégration tend à être de mesure nulle (tandis que la fonction est comprise entre 0 et 1).

Ça fait nettement plus de calculs...

[Ben314]

Ta méthode est la bonne dans un cas trés général (on peut remplacer x->ln(x) par pas mal de truc : ça continue à marcher)
Alors que la mienne utilise une "faille" dans ton énoncé : la fonction en question (x->ln(x)) a une dérivée strictement positive au point x=e donc en l'élevant à une puissance suffisante, on peut rendre la dérivée en x=e aussi grande qu'on veut et finir par faire passer la courbe de la fonction à la puissance n en dessous de la corde, et là, c'est plié vu que la fonction (affine) de la corde, on sait parfaitement bien l'intégrer.

Pour rendre l'exo plus dur, il faut donc prendre une fonction f qui, à l'extrémité b où f(b)=1, vérifie en plus f'(b)=0. (et d'ailleurs, dans ce cas là, l'intégrale tend encore moins vite vers 0...)

[Robic]

Ah oui, je comprends la "faille" et le rôle de la dérivée en e. Pour la fonction qui aurait une dérivée nulle en le deuxième point, ça m'a l'air pas évident d'en trouver une explicitement, donc je ne vais pas chercher plus compliqué...

[Ben314]

Si tu prend un truc du style c'est pas mal "chaud" de montrer que ça tend vers 0...

[mr_pyer]

On peut découper l'intégrale en avec .

[Robic]

Mais comment vas-tu démontrer que la seconde intégrale tend vers 0 ? Toute la difficulté de l'exercice est là-dedans.

(Mais je ne vais pas faire l'exemple de Ben314, heu... ah oui : pas ce soir, j'ai mal à la tête.)

[Robic]

Tiens, je rebondis sur le message de chan79 plus haut.

On trouve en effet, en intégrant par parties, que pour tout n entier naturel :
.

De plus il est facile de constater que la suite est décroissante :

.

Sur [1;e], le premier facteur est positif, par contre le second est négatif, donc on intègre une fonction négative : l'intégrale est négative. On en déduit la décroissance.

Ainsi, est une suite décroissante, elle est de plus minorée par 0 (c'est l'intégrale d'une fonction positive) : elle converge. Notons L sa limite. Mais d'abord je vais ré-écrire la relation de récurrence :



Par ailleurs les ne peuvent pas être égaux à e. En effet, on a et de plus la suite est décroissante, donc tous ses termes sont inférieurs à e-1 qui est < e. (Au passage, on en déduit aussi que L <= e - 1 donc L est différent de e.) On peut donc écrire :

.

On peut passer à la limite (je ne pouvais pas le faire au début à cause du (n+1)An qui était indéterminé), en rappelant que L est différent de e :

.

Il n'y a pas le choix : L = 0. C'est plus simple que ma première méthode ! Et puis c'est intéressant parce que ça mène à utiliser des suites, toujours au programme de terminale.

(La fin est bizarre, mais je ne pouvais pas remplacer directement L dans la relation de récurrence...)

-------
Je pense à un truc... Au début j'avais :



Si je passe à la limite dans le membre de droite, j'obtiens e - L, qui est un nombre réel constant (puisque L existe, donc est finie). Dans le membre de gauche, j'ai un truc du style l'infini fois L. Puisque l'infini fois L donne une constante, nécessairement L = 0. Non ?

Mieux : est-ce que ça ne prouve pas, du coup, que An est équivalent à e/(n+1) c'est-à-dire e/n ? En effet, (n+1)An tend vers e, donc An divisé par e/(n+1) tend vers 1. Sauf que je n'ai passé à la limite que dans le membre de droite, ce qui est bizarre... (Et de toute façon on sort du programme de terminale..)

[mr_pyer]

Mais comment vas-tu démontrer que la seconde intégrale tend vers 0 ? Toute la difficulté de l'exercice est là-dedans.

Je fixe , .
Ensuite lorsque .

Ainsi si est assez grand.

[Ben314]

Je fixe , .
Ensuite lorsque .

Ainsi si est assez grand.

Tout à fait mr_pyer, et cette preuve s'applique exactement de la même façon à n'importe quelle fonction strictement croissante de [a,b] dans [0,1].
Sauf que vu la façon dont Robic procède dans son post du 25/03/2014 19h26, j'ai l'impression que la définition des limites avec des epsilon n'est plus du programme de terminale et qu'on a uniquement des "fonctions de références" auquel il faut se ramener : c'est pour ça qu'au lieu de prendre un simple epsilon fixé dans sa preuve, il est obligé de prendre un truc qui dépend de n de façon à avoir une majoration explicite de l'intégrale In par une quantité dépendant de n.

[Robic]

Oui, l'idée de départ était de tout faire avec les connaissances de terminale.

Sinon, je ne comprends pas pourquoi : sur , la fonction intégrée est majorée par 1, pas par , puisqu'elle est croissante. On ne peut donc qu'écrire : , ce qui ne nous avance pas.

[Ben314]

là, la fonction f(x)=racine(1-x^3) est décroissante sur [0,1] donc majorée par f(epsilon) sur [epsilon,1].

[Robic]

Ah mais oui, c'est le contraire de l'autre ! Donc la difficulté est située dans la première intégrale, et on peut montrer effectivement que pour tout , il existe un n à partir duquel l'intégrale entre 0 et 1 est inférieur à . En terminale on ne voit plus la définition de la limite avec des , mais je pense qu'on doit pouvoir se raccrocher à la définition de terminale (« une suite admet une limite l lorsque tout intervalle ouvert centré en l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain indice ») : mr_pyer a montré que tout ]-;[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain indice (pour la deuxième intégrale il suffit d'expliquer que, puisqu'elle tend vers 0, l'intervalle ]-;[ contient tous les termes etc., donc elle est inférieure à ). Bon, ça va être laborieux quand même...