Info ?

[Suigetsu]

Bonjour, je souhaiterais apprendre à résoudre des équations du second degré mais malheureseument ce n'est pas dans mon programme de cette année (3ème). J'en retrouve souvent un peu partout et ça m'énerve de ne pas comprendre, par conséquent j'ai cherché sur le web mais rien n'y fait ça ne m'aide toujours pas. De ce fait, connaitriez vous un site ou une page permettant de répondre à mes attentes ?? merci d'avance.

[fatal_error]

slt

wikipedia?

[Archytas]

ça me semble ambitieux d'étudier les trinomes en 3ème étant donné qu'à mon souvenir la fonction carré et la fonction racines sont au programme de seconde...
Cela dit si tu veux les étudier il y a la méthode avec le discriminant qui est le plus simple pour commencer à mon sens (tu as deux formules à appliquer pour résoudre les formules) et celle avec la forme canonique un peu moins immédiate mais plus rapide, bien sur les deux sont équivalentes mais bon.
Bon courage !

[Sylviel]

Mouais, je suis plutôt contre apprendre la formule du discriminant en 3ème. Tu auras appris un truc par coeur sans avoir compris la démarche. Si tu veux je peux essayer de t'expliquer.

Imaginons que tu veuilles résoudre
x²-6x+8 = 0

L'objectif est décrire l'équation sous la forme
(x-a)(x-b)=0 car ça tu sais résoudre. (Si tu ne sais pas encore le faire dis le moi)

Pour y arriver on va écrire x²-6x+8 sous la forme (x - c)² - d
Es-tu capable de trouver c et d tel que
(x-c)²-d=x²-6x+8 ?
Comment as-tu fait ?

Bon maintenant on va utiliser l'identité remarquable A²-B² = (A-B)(A+B).
Sauf que pour le moment tu as (x-c)²-d...
Donc tu écris que d=(...)² et donc on a
x²-6x+8 = (x- ...)² - (...)²
Appliques l'identité remarquable pour factoriser, puis résouds.

Ok, si tu as compris ça essaie de le refaire sur
x²-4x+3 =0.

[Suigetsu]

ça serait:

x²-6x+8 = 0
= x²-6x+9-9+8 = 0
= (x-3)²-1 = 0
= [(x-3)+1][(x-3)-1] = 0

donc:

x-3+1 = 0
x = 2

ou

x-3-1 = 0
x = 4

Ainsi x²-6x+8 = 0 admet x=2 et x=4 pour solutions

_______________________________________________

x²-4x+3 = 0
= x²-4x+4-4+3 = 0
= (x-2)²-1 = 0
= [(x-2)-1][(x-2)+1] = 0

donc:

x-2-1 = 0
x = 3

ou

x-2+1 = 0
x = 1

Ainsi x²-4x+3 = 0 admet x=3 et x=1 pour solutions

[Kikoo <3 Bieber]

C'est bien !

Parfois, tu ne trouveras pas de carrés d'entiers. Ce n'est pas grave, tu prendras la racine carrée et le résultat coulera toujours de source. Et il faut encore que tu saches voir quand une équation admet ou non des solutions réelles. Inutile de te précipiter dans des calculs lorsque tu traites quelque chose du genre x²+9=0.
Cela paraît sans doute trivial, mais il est nécessaire de le rappeler.

[Sylviel]

Exact. Maintenant on va muscler les choses en essayant de résoudre
x²+bx+c=0 avec la même méthode :
x²+bx+c=(x+...)²-...+c
=(x+...)²-(...)² (attention il y a un petit piège ici)
...

[Suigetsu]

là je dois t'avouer que je sèche un peu :briques:

[ampholyte]

Essaye de développer (x + b/2)² cela te permettra de compléter les points :

x²+bx+c=(x+...)²-...+c

[Suigetsu]

(x + b/2)² = x² + xb + b²/4 mais même avec ça je ne vois pas trop la suite

[ampholyte]

Regarde bien, on retrouve x² + bx mais on a le terme b²/4 en trop donc :

x² + bx + c = (x + b/2)² - b²/4 + c, as-tu compris ?

[Suigetsu]

hmm à peu près...

donc:

x²+bx+c
= (x+ b/2)²- b²/4 +c
= (c+ b/2)² - (b²+4c)/4

et avec cela je suis arrivé à l'expression (qui est fausse je pense) qui est

[ampholyte]

Attention, on arrive effectivement à

x²+bx+c = (x+ b/2)² - (b²-4c)/4

Ici on va poser , on a donc :



Ici tu as une identité remarquable a² - b² = (a - b)(a + b) et donc tu obtiens le résultat souhaité (attention au signe de delta !)

edit : Petite coquille sur l'expression x²+bx+c = (x+ b/2)² - (b²+4c)/4 ==> problème de signe !!

[Suigetsu]

merci je reverrais cela demain et je tenais à vous remercier pour votre aide :)

[Sylviel]

Héhé ça devient un peu plus compliqué la quand même :zen:

Mais reprends tranquillement tout ça demain et tu devrait comprendre.
L'idée c'est bien que quand tu as
x²+bx+c = (x+ b/2)² - (b²+4c)/4
tu veux obtenir
x²+bx+c = (x+ b/2)² - (...)²
et c'est pour ça qu'on introduit ce Delta :-)

Bon courage !

[Suigetsu]

donc








est-ce cela ??

[Archytas]

Attention d'après tes notations et tu ne peux pas utiliser l'identité remarquable si !

[Sylviel]

Comme l'a fait remarquer Archytas ta grosse erreur a été de penser que la racine de la somme c'est la somme des racines... Ce qui est aussi faux que le carré de la somme est la somme des carrés :hum:

Donc non, tu ne peux pas te débarasser de ce satané racine de Delta. Mais sinon l'idée est là.

L'autre remarque d'Archytas est valable aussi et vaut le coup qu'on s'y arrête un instant.
x²+bx+c = (x+ b/2)² - (b²-4c)/4 (au passage c'est bien b²-4c et non b²+4c...)
ceci est toujours vrai. Donc si tu veux résoudre
x²+bx+c = 0
et que (b²-4c)<0 que peux-tu dire ?
Indice : un carré est toujours positif.

[Suigetsu]

l'équation n'a pas de solutions ?

[ampholyte]

C'est ça mais il faut préciser.

L'équation n'a pas de solution dans l'ensemble des réels R.

En effet tu verras par la suite (1ere, Terminal) que les équations x² = -3 (pour exemple) ont des solutions dans un ensemble que l'on appelle l'ensemble des complexes noté C. C'est pour cette raison que l'on doit toujours préciser l'ensemble.