0 X infini

[Hughes_Perreault]

Bonjour,

Aujourd'hui, j'ai soulevé tout un débat à l'école en disant que 0 X infini était égal à une indétermination, même si nous ne sommes pas dans un cas de limite. J'ai bien conscience que littéralement parlant, cela donne 0, ça ne fait aucun doute, mais comme il existe des grosseurs relatives d'infini et des grosseurs relative de zéro, je me suis dit que cela ne pouvait donné autre qu'une forme indéterminé. De plus, si nous posons que 0 fois infini = 0, cela impliquerait que 0/0 = infini, ce qui est faux évidemment. Aussi, l'infini n'est pas un nombre dans les réels, il n'est donc pas soumis aux mêmes obligations (se plier devant un zéro, par exemple) que les nombres réels. Nous avons demandez à notre vénéré prof de Mathématique d'être l'arbitre du débat, mais elle avait aussi des doutes et nous a demandé de revenir la voir le temps qu'elle fasse des recherches. Peut-être quelqu'un ici pourrait-il nous éclairé sur la question?

Hughes

[ffpower]

Il est considéré comme tu dis que ca fait 0. Moi je le vois comme ça : Si on regroupe une infinité d ensembles à 0 éléments, ben on aura toujours 0 éléments. Et réciproquement, si on en prend 0 ensembles ayant une infinité d'éléments, on aura encore 0 éléments. Le 0 tue l'infini, aussi grand soit il

Et pour éviter les calculs de 0/0, tout ce que je vois à dire c'est que:
Diviser par 0, c'est mal, m'voyez..

[Hughes_Perreault]

Je comprend bien ton exemple, car il est dit littéralement, mais saurais-tu en faire la preuve irréfutable par raisonnement exclusivement mathématique?

[Skullkid]

Déjà, faudrait savoir ce que tu appelles l'infini. Dans un contexte de limite, "l'infini" désigne un nombre qui peut devenir aussi grand qu'on veut (et "0" désigne un nombre qui peut devenir aussi petit qu'on veut), d'où l'indétermination. Si tu sors de ce contexte, et que par 0 tu désignes le réel 0, alors il te faut définir ce que signifie l'infini.

Si l'infini désigne - comme pour les limites - un nombre aussi grand qu'on veut, alors le réel 0 multiplié par l'infini, ça fait le réel 0.

[alavacommejetepousse]

bonjour
j ai peur de ne pas comprendre l objet de la discussion

on peut fournir un cadre précis ?

[Hughes_Perreault]

Comme cadre, je veux qu'on sorte le problème d'un contexte de limite, et qu'on le mette plutôt dans cadre d'arithmétique standard... Un calcul quoi.

Comme zéro, je veux que l'on prenne le réel zéro

Comme infini, je ne veux pas que l'on prenne une tendance vers l'infini, ni le plus grand nombre réel existant, je veux que l'on sorte des réels et que l'on prenne l'infini comme un non réel.

[alavacommejetepousse]

hum

un calcul ?

je vois pas ce que tu veux dire

[ffpower]

Alors, pour être mathématiquement un peu plus précis, sans rentrer dans tous les détails Bourakien :
Une notion généralisant les nombres entiers et permettant de parler d'infini est la notion de cardinal. Intuitivement, si A est un ensemble, card(A) est le nombre d'éléments de A. On dit que card(A)=card(B) si il y a une bijection entre A et B. Si A est fini, card(A) est un entier naturel. Après, ya card(N) qui est le premier cardinal infini. Puis y'a card(R) qui est un cardinal plus grand, puis plein d'autres cardinal plus grand encore mais je ne rentrerai pas dans ces détails.

La définition de la multiplication de 2 cardinaux ( et donc en particuliers de 2 entiers ) a et b se fait en gros en :
-choisissant un ensemble A de cardinal a, et un ensemble B de cardinal b
-puis en regardant le cardinal de l'ensemble AxB ( qui représente l'ensemble des couples (x,y), x variant dans A, y dans B )

En gros la multiplication est définie de sorte à satisfaire la regle:
card(A)*card(B)=card(AxB)
Si a et b sont des entiers, ca fait revient intuitivement à tracer sur un quadrillage un rectangle dont les cotés font a cases et b cases, et de regarder le nombre de cases de ce rectangle..

Et finalement, l'entier 0 est représenter par l'ensemble n'ayant aucun élément, noté (= ensemble vide ). Et après si a est un cardinal (fini ou infini) représenté par un certain ensemble A ( donc a=card(A) ), alors du fait que ( fait qui se prouve facilement pour peu qu'on ait bien compris ce qu'est l'ensemble vide ), et donc 0=0*card(A)=0*a..

Voila, en esperant que ce point de vue te convienne ( c'est grossierement la formalisation mathématique du blabla de mon post précédent )

[Ben314]

Salut,
Pour donner quelque "cas pratiques" qui me viennent à l'esprit :

1) A=0 désigne le nombre d'éléments d'un ensemble vide, B=oo le nombre d'éléments d'un ensemble infini, le produit AxB désigne le nombre de couples que l'on peut former en prenant un élément de A et un dans B.
Dans ce cas, on a : 0 x oo = 0

2) A=0 désigne la longueur d'un intervalle réduit à un point, B=oo le nombre de points dans un intervalle de longueur x>0 quelconque, le produit AxB désigne la longueur totale de la mise bout à bout de B intervalles de longueur A.
Dans ce cas, on a 0 x oo = x (quelconque !!!)

On peut donner des tas d'autres "interprétations concrètes" du produit 0xoo qui m'amènent à penser que, si on ne donne pas une grande précision à :
1) Ce que désigne le symbole "0"
2) Ce que désigne le symbole "oo"
3) Ce que désigne le symbole "x" (multiplié)
Il vaut nettement mieux répondre "c'est indéterminé"

Par exemple :

Comme zéro, je veux que l'on prenne le réel zéro : => répond trés clairement au 1)
Comme infini, je ne veux pas que l'on prenne une tendance vers l'infini, ni le plus grand nombre réel existant, je veux que l'on sorte des réels et que l'on prenne l'infini comme un non réel. => Tente de répondre au 2) mais, en fait, n'y répond pas du tout : on ne sait toujours pas ce que désigne oo : on sait seulement ce qu'il ne désigne pas...

Concernant le 3) : Aucune indication dans le texte concernant la définition du produit

Conclusion : Dans ce post, les point 1), 2) et 3) n'étant pas entièrement clarifiés, pas de réponse possible...

P.S. En général, en Math., quand on veut prouver quelque chose, il est de bon ton d'avoir au préalable défini les objets que l'on veut manipuler.
Pense tu pouvoir dire quelque chose concernant l'affirmation :
"Tout triangle ploucgloc est forcément scarface"
avant de savoir exactement ce qu'est un triangle "ploucgloc" et un triangle "scarface" ?

ESIT : j'ai encore mis trois plombes à taper mon post : je n'ais lu celui de ffpower qu'ensuite.
Il répond tout à fait au trois pointa 1), 2) et 3) et, grâce à ça donne une réponse parfaitement carrée à la question 0xoo=?
Mais, personellement, par rapport au post de départ, je considère que l'on pourrait donner d'autres interprétation de la question de départ c'est à dire d'autres réponses au questions 1), 2) et 3)...

[ffpower]

2) A=0 désigne la longueur d'un intervalle réduit à un point, B=oo le nombre de points dans un intervalle de longueur x>0 quelconque, le produit AxB désigne la longueur totale de la mise bout à bout de B intervalles de longueur A.
Dans ce cas, on a O x oo = x (quelconque !!!)

Je suis d'accord qu'il y probablement d'autres points de vue pertinents autre que celui des cardinal ou de la théorie de la meusure usuelle permettant de laisser penser que dans certains contextes, 0*infini différent de 0, mais je trouve que celui la n'est pas pertinent du fait que le minimum syndical est quand même de retrouver le produit classique quand on fait le produit de 2 entiers naturels ( et réels aussi le cas échéant )

[Finrod]

En gros, si je suis Ben, c'est de la théorie des catégorie.

Dans les entier naturel, on a un objet nul mais l'infini n'est pas un entier naturel donc 0 x infini n'a pas de sens.

En revenche, dans la catégorie plus grosse des ensembles, l'objet nul est bienl'ensemble vide et son produit cartésien par tout ensemble est bien vide.

L'injection de la catégorie des entiers (ou ensembles finis) dans celle des ensembles est claire.

Je n'avais jamais vu les choses sou cet angle. C'est amusant.

[beagle]

[quote="Ben314"]Salut,
Pour donner quelque "cas pratiques" qui me viennent à l'esprit :

1) A=0 désigne le nombre d'éléments d'un ensemble vide, B=oo le nombre d'éléments d'un ensemble infini, le produit AxB désigne le nombre de couples que l'on peut former en prenant un élément de A et un dans B.
Dans ce cas, on a : 0 x oo = 0

2) A=0 désigne la longueur d'un intervalle réduit à un point, B=oo le nombre de points dans un intervalle de longueur x>0 quelconque, le produit AxB désigne la longueur totale de la mise bout à bout de B intervalles de longueur A.
Dans ce cas, on a 0 x oo = x (quelconque !!!)

On peut donner des tas d'autres "interprétations concrètes" du produit 0xoo qui m'amènent à penser que, si on ne donne pas une grande précision à :
1) Ce que désigne le symbole "0"
2) Ce que désigne le symbole "oo"
3) Ce que désigne le symbole "x" (multiplié)
Il vaut nettement mieux répondre "c'est indéterminé"

............................................................

Euh, Ben, dans ton cas 1) cela fait 0, dans ton cas 2) cela fait x, cela pourrait faire l'infini,
il ne me semble pas que tu donnes des réponses indéterminées, mais tes réponses sont bien terminées je trouve,

donc ce n'est pas 0 fois infini qui est indéterminé,
ce qui n'est pas bien terminé c'est ce dont on parle dans la multiplication.

6x5 ne me semble pas mieux déterminé si 6 et 5 ne sont pas mieux définis que 0 et infini dans le problème initial.

[Hughes_Perreault]

Merci beaucoup pour vos réponse, je ferai plus attention à déterminer ce que j'entends par mes termes la prochaine fois. En fait, je crois que je ne savais pas moi même ce que j'entendais par ``zéro``, ``infini``, et un ``produit``...

Donc on peut en conclure qu'il existe des cas où 0 X infini nous donnera un x quelconque, et plusieurs cas ou ça donne zéro (bien entendu...) Je crois que j'ai ouvert la porte d'un monde bien plus grand que je l'imaginais...

[Ben314]

@ffpower : au niveau "minimum syndical", il me semble que, si je met "bout à bout" 3 segments de longueurs 1.5 j'obtient bien un segment de longueur 4.5.
Bon, d'accord, mes deux ensembles sont de nature différentes : cardinaux pour le "comptage" des points et réels pour la mesure des longueurs, mais il ne me semble pas qu'il soit précisé dans la règle du jeu que l'on doive trouver un même ensemble dans lequel 0 et oo vivent simultanément.

@beagle : dans le cas 1), il n'y a effectivement pas d'indétermination (c'est le cas décrit plus en détail que moi par ffpower), mais dans le cas 2, à mon sens, on est exactement devant une indétermination : savoir qu'un certain segment donné est composé d'une infinité de segments de longueurs nulle ne permet pas d'en déduire sa longueur : éthymologiquement parlant, il me semble bien que c'est une "indétermination"

Pour le cas 2), si je veut préciser ma pensée, j'avais derrière la tête la théorie de la mesure qui est une de celle qui "accepte" le plus la notion d'infini "actuel" (contrairement à l'infini "potentiel" qu'il y a dans la notion de limites) : une mesure part (d'une partie) de P(Omega) dans laquelle on peut faire des réunions infinies (à priori seulement dénombrabe) et atterri dans Ru{oo}. L'exemple que je donne est souvent donné au début de la théorie pour montrer qu'il ne faut pas espérer avoir mieux que la dénombrable additivité des mesures si on veut appréhender la mesure usuelle sur R.

Bon, de toute façon, tout ce que je voulais dire, c'est que, si on ne précise pas dans quel contexte on se situe, il me semble raisonable de considérer que la valeur à attribuer à 0xoo n'est pas clairement déterminée...

[beagle]

"@beagle : dans le cas 1), il n'y a effectivement pas d'indétermination (c'est le cas décrit plus en détail que moi par ffpower), mais dans le cas 2, à mon sens, on est exactement devant une indétermination : savoir qu'un certain segment donné est composé d'une infinité de segments de longueurs nulle ne permet pas d'en déduire sa longueur : éthymologiquement parlant, il me semble bien que c'est une "indétermination"

vi, vi, il était tard hier, ...
ceci étant j'avais bien aimé ton exemple de zéro qui est un,
puisque ton zéro longueur est UN point,
cela te permet de multiplier des uns qui sont référencés zéro, c'est bien joué.
Mais quelque part tu multiplies des nombres de points, et tu donnes un résultat en longueur, il n' ya pas un presque changement d'unités dans ta multiplication?Additionnes-tu vraiment des sommes d'intervale zéro ou plutot une somme de différence de longueur entre des A1 et A2.
Bon j'arrète de t'embéter car avec l'infini je multiplie les interventions à coté de la plaque.
Bon, c'était marrant quand mème.

[Ben314]

Je trouve ça marrant aussi... et je sais pas si c'est tant "à coté de la plaque" que ça : je pense que, bien que ne comprenant peut être pas complètement tout les arguments avancés, Hughes_Perreault a des "éléments de réponses" à la question qu'il a posé : le plus fréquement, il est naturel de poser une bonne fois pour toute 0xoo=0, mais, dans certains cas, ce n'est pas si clair que ça et... il y a polémique...

Aprés, je suis tout à fait d'accord que mon exemple a des cotés "bancals", mais c'est le seul qui m'est venu à l'esprit avec un "vrai 0" et un "vrai infini" (i.e. pas des limites) où le produit ne fait pas 0...

[beagle]

j'ai quand mème encore du mal à me persuader que c'est pas de l'arnaque.
Tu utilises tout de mème des limites comme celle qui fait tendre vers zéro la distance entre deux points, non?
Parce que moi, bètement si je pars d'un point A et que je me déplace un nombre de fois infini d'un intervale AA, il me semble que je vais rester au point A, et que donc la distance est zéro.
Pour aller de A vers B avec une distance AB=x,
ilme semble qu'on passe par des points Ai et Aj,
et que à chaque fois que de Ai je me déplace de AA, je reste en Ai et je ne vais pas en Aj,
entre tout Ai et Aj je peux retrouver une infinité de points, mais je ne vois pas que deux points distincts n'ont pas à chaque fois une longueur différente de zéro,
donc passe-t-on vraiment de A vers B par une somme infinie de zéro?
Une somme infinie d'éléments qui tendent vers zéro mais ne sont jamais zéro, sinon on fait du sur place.
Bon, j'ai du mal.

[Ben314]

Ca, c'est sûr que, partant de A et te déplacant à chaque étape de 0cm (en direction de B... :zen: ), on va pas aller trés loin (en un nombre fini d'étapes...)
Si tu veut que mon "argument" soit pas trop contradictoire, il faut le voir sous cette forme :

- Un segment [AB] est composés de différents points M (indéniable il me semble) c'est à dire de différents segments [M,M] disjoints.
- La longueur d'un segment [M,M] est de 0cm.
- Quand on met "bout à bout" des segments de même longueur L, la longueur totale est Nombre_de_segments x L.

En fait le "blème" c'est que, par exemple dans la théorie de Lebesgue, la dernière formule n'est valable que pour un nombre de segments au maximum dénombrable (i.e. infini mais pas trop gros) et dans ce cas (dénombrable), on a de nouveau oox0 = 0 et que je tient absolument à trouver autre chose...

[maxence6]

Huges Perreault: De plus, si nous posons que 0 fois infini = 0, cela impliquerait que 0/0 = infini, ce qui est faux évidemment

Qu'en sais-tu que 0 : 0 n'est pas égal a l'infini ?
Vu que personne ne sait diviser par 0

[Hughes_Perreault]

Il serait faux de l'affirmer, puisque nous ne pouvons pas le démontrer, comme tu dit. Si nous ne pouvons savoir ce que ça donne, cela est donc une indétermination. Et nous ne pouvons pas partir d'une indétermination pour prouver un calcul par la suite, ce calcul serait à mon sens lui aussi une indétermination.