Inéquation à 3 inconnues

[pitchx13]

Bonjour,

Actuellement je suis sur un projet et j'ai besoin d'aide.

Voici les inéquations:

1) (V1 * x) - (x+y+z) > 0
2) (V2* y) - (x+y+z) > 0
3) (V3* z) - (x+y+z) > 0

avec comme contrainte:
1) (x,y,z > 0)
2) V1,V2,V3 sont des valeurs que l'on connait.


Le but est de trouver x, y et z.

Merci d'avance pour ceux ou celles qui m'aideront

Pitchx13.

[FLBP]

Bonjour Pitchx13,

On ne peut trouver x,y,z avec de inéquation sans fonction à maximiser ou à minimiser.
Par exemple, une telle fonction pourrait être la somme des trois partie gauche des inéquations à maximiser.

Sans cette information, on ne peut faire grand chose pour vous.

Cordialement.

[pascal16]

1) (V1 * x) - (x+y+z) > 0
2) (V2* y) - (x+y+z) > 0
3) (V3* z) - (x+y+z) > 0

d'un point de vu géométrique, en pensant en 4D, c'est assez simple.
(x,y,z,t) notre système de coordonnées

1) (V1 * x) - (x+y+z) > 0
soit t=x+y+z la définition d'un demi plan car x>0, y>0, z>0
V1 * x est une demi droite car x>0
quand ta droite est au dessus de plan, c'est le x de V1 * x qui pilote
quand ta droite est dans ou au dessous de plan, pas de solution
Ta droite n'est jamais à coté du demi-plan.


soit
(V1 * x) - (x+y+z) > 0
<=> x(V1-1) > y+z
<=> SI (V1-1) >0 : x > (y+z)/(V1-1) -> ça doit faire une demi-droite ouverte
SI (V1-1) < 0 : x < (y+z)/(V1-1) -> ça doit faire un segment ouvert
(V1-1)=0 : cas limite qui donne en théorie toute valeur possible pour x.

[pitchx13]

Bonjour,

Tout d'abord, merci à vous d'avoir prit le temps pour m'aider,

J'ai oublié dans mon énoncé que V1,V2,V3 sont toutes des valeurs positif.

D'après ce que pascal16 a ecrit, je serai dans le cas où (V1-1) >0
ce qui donnerai :
x > (y+z)/(V1-1)
y > (x+z)/(V2-1)
z > (x+y)/(V3-1)

grâce à cela, je peux faire mon programme qui me trouvera la solution où t est variable.

Encore Merci à vous.
Pitchx13

[Ben314]

Salut,
Juste une question :

En quoi la forme
x > (y+z)/(V1-1)
y > (x+z)/(V2-1)
z > (x+y)/(V3-1)
te semble t-elle "plus utile" (ou "plus intéressante" ou "plus je sais pas quoi") que celle de départ
1) (V1 * x) - (x+y+z) > 0
2) (V2* y) - (x+y+z) > 0
3) (V3* z) - (x+y+z) > 0
?

Parce que, perso., quelque soit l'objectif (informatique, recherche de l'aire du bidule, recherche d'un max sur le domaine, etc...) je vois pas bien quel intérêt ça peut avoir de récrire les conditions sous cette forme là : certes, à gauche des > tu as x,y et z, mais vu qu'à droite tu as aussi des x,y,z ça ne conduit à rien d'utile, en tout cas à rien de plus utile que les équations de départ.
Sans parler du fait que, sous cette forme, ça "donne l'impression" que les "bonne conditions" sont V1>1 ; V2>1 ; V3>1 alors que si on résout correctement le bidule on constate que le domaine est non vide ssi V1,V2,V3>0 et 1/V1+1/V2+1/V3<1 (ce qui implique évidement que V1,V2,V3 sont >1, mais c'est pas mal plus restrictif que ça)

[pitchx13]

Salut,
Juste une question :

En quoi la forme
x > (y+z)/(V1-1)
y > (x+z)/(V2-1)
z > (x+y)/(V3-1)
te semble t-elle "plus utile" (ou "plus intéressante" ou "plus je sais pas quoi") que celle de départ
1) (V1 * x) - (x+y+z) > 0
2) (V2* y) - (x+y+z) > 0
3) (V3* z) - (x+y+z) > 0
?

Parce que, perso., quelque soit l'objectif (informatique, recherche de l'aire du bidule, recherche d'un max sur le domaine, etc...) je vois pas bien quel intérêt ça peut avoir de récrire les conditions sous cette forme là : certes, à gauche des > tu as x,y et z, mais vu qu'à droite tu as aussi des x,y,z ça ne conduit à rien d'utile, en tout cas à rien de plus utile que les équations de départ.
Sans parler du fait que, sous cette forme, ça "donne l'impression" que les "bonne conditions" sont V1>1 ; V2>1 ; V3>1 alors que si on résout correctement le bidule on constate que le domaine est non vide ssi V1,V2,V3>0 et 1/V1+1/V2+1/V3<1 (ce qui implique évidement que V1,V2,V3 sont >1, mais c'est pas mal plus restrictif que ça)

Salut,

Car ce que je vais faire est simple, je vais fixer x, y ou z à une valeur et de ce fait j'aurai un résultat qui aura un min et un max.

Mon but est de trouver et d'avoir x,y,z pour que :
m étant le maximun que l'on peut avoir avec (x,y,z)
rappel: la somme de x,y,z est donnée.
(V1*x) - (x+y+z) = m
(V2*y) - (x+y+z) = m1
(V3*z) - (x+y+z) = m2

m,m1,m2 > 0

[Ben314]

Car ce que je vais faire est simple, je vais fixer x, y ou z à une valeur et de ce fait j'aurai un résultat qui aura un min et un max.

Ben justement, c'est bien là que tu voit que tes inégalités de les écrire sous la forme
x > (y+z)/(V1-1)
y > (x+z)/(V2-1)
z > (x+y)/(V3-1)
ca sert franchement à rien : pour "fixer" (par exemple) x, ben il faut le prendre qui soit > (y+z)/(V1-1) sauf que pour le moment, tu ne connaît ni y, ni z donc je vois pas comme tu peut le "fixer" (et c'est bien évidement le même problème si tu essaye de "fixer" y ou z dés le départ !!!!)
Bilan : ce système de trois inéquation, il se "mord autant la queue" que celui de départ et il ne permet absolument pas de "fixer" quoi que ce soit.

Perso, partant du système de départ (plus les conditions x,y,z>0 et avec les hypothèses V1,V2,V3>0), ce que je me serait empressé de faire, c'est plutôt de regarder ce que ça donne pour x+y+z=K=Cst>0 fixée.
Les équations de départ disent alors directement qu'on doit avoir x>K/V1 ; y>K/V1 ; z>K/V3.
Et très clairement, pour qu'il existe trois réels de somme K qui soient respectivement >K/V1 ; >K/V2 et >K/V3, il faut (et il suffit) que K>K/V1+K/V1+K/V3 c'est à dire que 1>1/V1+1/V2+1/V3.
Si cette condition n'est pas remplie, ton domaine est vide et par contre, si elle est remplie, on peut prendre n'importe quoi (de >0) pour K alors il y aura systématiquement des éléments de ton domaine tels que x+y+z=K.

[Ben314]

Sinon, j'ai pas trop regardé la fin de ton post :

Mon but est de trouver et d'avoir x,y,z pour que :
m étant le maximun que l'on peut avoir avec (x,y,z)
rappel: la somme de x,y,z est donnée.
(V1*x) - (x+y+z) = m
(V2*y) - (x+y+z) = m1
(V3*z) - (x+y+z) = m2
m,m1,m2 > 0

Ton but, c'est, connaissant V1,V2,V3 et m1,m2 de trouver (en fonction de V1,V2,V3,m1,m2) le plus grand m possible tel que ton système d'équation ait au moins une solution x,y,z tous >0. C'est ça ?

[pitchx13]

Sinon, j'ai pas trop regardé la fin de ton post :

Mon but est de trouver et d'avoir x,y,z pour que :
m étant le maximun que l'on peut avoir avec (x,y,z)
rappel: la somme de x,y,z est donnée.
(V1*x) - (x+y+z) = m
(V2*y) - (x+y+z) = m1
(V3*z) - (x+y+z) = m2
m,m1,m2 > 0

Ton but, c'est, connaissant V1,V2,V3 et m1,m2 de trouver (en fonction de V1,V2,V3,m1,m2) le plus grand m possible tel que ton système d'équation ait au moins une solution x,y,z tous >0. C'est ça ?

en réalité c'est moins compliqué que ça parait.

V1,V2,V3 seront toujours des valeurs définie entre 1 et 15, elles sont cst le temps de l'équation.

x,y,z sera des entiers >0 de plus, x+y+z sera connue.

Le seul véritable problème est qu'il faut trouvée x,y,z en fct de V1,V2,V3.


Pitchx13

[Ben314]

Le seul véritable problème est qu'il faut trouver x,y,z en fct de V1,V2,V3.

Ca a évidement pas le moindre sens de "trouver" x,y,z.
Ton domaine (avec x+y+z connu), c'est un truc du style l'intérieur d'un hexagone contenu dans R^3 il contient bien évidement des tas et des tas de points (une infinité en fait).
Donc, écrit en Français, c'est comme si tout ce que tu savait, c'est que "monsieur X" est un humain mesurant plus de 1m75 et que tu prétendait avec ça être capable de "trouver" qui est "monsieur X" !!!

Bon, sinon, je sais pas dans quelle branche tu travaille, mais quand on veut faire un peu des math. (ou n'importe quoi qui resemble de prés ou de loin à des sciences), le premier truc à faire quand on a un problème/une question, c'est de "poser" le problème en terme clairs et sans ambiguïté :
- Au départ, je connais ça, ça, ça et ça : types des variables (entiers, réels, positifs,...); valeur de certaines variables ; égalités/inégalités entre ces variables (en réfléchissant bien histoire d'être sûr et certain de ne rien oublier)
- Au final, j'aimerais trouver ça : la valeur d'une variable ou d'une expression (en espérant avoir assez d'info pour pouvoir la déterminer) ; un encadrement d'une variable ou d'une expression (en précisant par rapport à quoi on veut encadrer) ; le maximum/minimum d'une variable ou d'une expression.

Et si je dit ça, c'est que pour le moment, tu as décrit 3 fois des "contextes" et que les 3 contextes que tu as décrit n'avaient (quasiment) rien à voir les uns avec les autres :
- Dans le premier post, tu décrit un problème qui n'a très clairement aucune solution [sauf cas très exceptionnel, on ne risque pas de "déterminer" x,y,z en ne partant que d'inéquations]
- Dans le deuxième, c'est pas clair, mais ça donne l'impression que tu connaît (V2*y)-(x+y+z) (ton m1) et (V3*z) - (x+y+z) (ton m2) et que ce que tu veut, c'est de maximiser(V1*x)-(x+y+z) [ce qui n'a pas le début du moindre rapport avec la question du premier post]
- Et là, dans le dernier post, il s'avère qu'en fait, les x,y,z, cherchés sont des entiers [ce qui bien évidement modifie complètement le problème vu que d'un seul coup, au lieu d'avoir une infinité de solution, il est fort probable qu'on en ait plus qu'un nombre fini]. De même V1,V2,V3 sont maintenant des entiers connus (et en plus majorés par 15) et, cerise sur le gateau, il semblerais que x+y+z soit lui aussi connu (alors que dans le post précédent, c'est lui qu'il fallait maximiser !!!!!!)

Bref, prend le temps qu'il faut pour décrire correctement ton problème (voir partie en bleu) et là, on pourra effectivement t'aider (sachant qu'en fait, le "c'est quoi que tu cherche", là, a va, c'est bien la même chose dans les 3 posts : c'est x,y,z. Sauf que dans le 2em, c'est x,y,z tel que truc soit le plus grand possible et pas dans les deux autres)

[pitchx13]

Pour moi c'est clair, c'est vrai que j'ai pas donné toutes les infos, mais je pensais qu'elles n'étaient pas importante.

je vais te donner un exemple d'un calcule:

(1,5 * x) - (x+y+z) > 0
(2,4 * y) - (x+y+z) > 0
(9,0 * z) - (x+y+z) > 0

on connait (x+y+z) max. que j'ai appelé m, sauf que selon l'inéquation le résultat n'est pas le même, c'est pourquoi je l'ai appelé m,m1,m2.

Le but est toujours le même depuis le début, trouver x,y,z en fct de V1,V2,V3.

[pascal16]

Version 3D :
(1,5 * x) - (x+y+z) > 0
(2,4 * y) - (x+y+z) > 0
(9,0 * z) - (x+y+z) > 0
n'a pas une solution unique.
c'est, quand il y a une solution, généralement l'intérieur d'un cône.
il faut rajouter :
x>0
y>0
z>0
ici, tu cherches à être d'un coté donné de 6 plans.
pour ces valeurs-là, il n'y a pas de solution.

(1,5 * x) - (x+y+z) > 0
(2,4 * y) - (x+y+z) > 0
(9,0 * z) - (x+y+z) > 0
<=>
x> (x+y+z)/1.5
y>(x+y+z) /2.4
z>(x+y+z) /9
on somme les 3 lignes => (x+y+z)> (x+y+z)*(1/1.5+1/2.4+1/9) ≃ 1.19(x+y+z)
impossible car (x+y+z) est positif

V1 V2 V3 doivent vérifier les conditions minimales : 1/V1+1/V2+1/V3 <1

[Ben314]

on connait (x+y+z) max. que j'ai appelé m, sauf que selon l'inéquation le résultat n'est pas le même, c'est pourquoi je l'ai appelé m,m1,m2.

Bon, je pense que je vais jeter l'éponge vu que je comprend rien de rien à ce que tu raconte : ça veut dire quoi ton truc en rouge ci dessus ????

Si tu connaît le maximum de x+y+z parmi les triplets d'entiers (x,y,z) vérifiant les 3 inéquations, tu peut si tu veut l'appeler m, mais quand tu as un certain nombre d'entier, par exemple {5,7,2,9,4,3}, des maximum, ben il y en a évidement un et un seul (ici m=9 épicétout) donc je comprend franchement pas qui ça peut être ton m1 et ton m2 qui sont "selon l'inéquation"...
Ou alors, ton "on connaît (x+y+z) max", il faut le comprendre sous la forme "on connaît le maximum de (x+y+z) parmi les triplets d'entiers (x,y,z) vérifiant uniquement la première équation" ?

P.S. @pascal16 : tu comprend ce qu'il cherche à faire toi ?

[pascal16]

Non, c'est un double défit : trouver quel est le vrai problème et le résoudre.
Perso soit, on cherche f(x,y,z) minimale ou maximale sous contrainte, ce que j'appelle la version 4D (4 dimensions au minimum) où des techniques de recherche d'extremum existent.

Soit on travaille en 3D, c'est un lieu géométrique, et c'est celui-là que j'ai testé et il est impossible de trouver une solution.
(1,5 * x) - (x+y+z) > 0
(2,4 * y) - (x+y+z) > 0
(9,0 * z) - (x+y+z) > 0
on voit que pour le cas limite "=0" (0,0,0) est solution.
3 plans (enfin 6 en tout) qui passent par O, on a une forme solution une forme de pyramide de sommet O... quand la solution n'est pas vide.

[pascal16]

V1,V2,V3 seront toujours des valeurs définie entre 1 et 15, elles sont cst le temps de l'équation.

x,y,z sera des entiers >0 de plus, x+y+z sera connue.

si x+y+z est connu, tu peux en simplifier le problème

te casses pas la tête, les résolutions sous contrainte sont plus compliquées que ton problème.
tu fais une triple boucle sur x, y et z par pas de 0.1 par exemple
tu vérifies si les 3 contraintes sont vérifiées

code en Small Basic

Code: Tout sélectionner

For x=1 To 15 Step 0.1
   For y=1 To 15 Step 0.1
     For z=1 To 15 Step 0.1
      If ( ( (1.5 * x) - (x+y+z) > 0) And ( (2.4 * y) - (x+y+z) > 0) And ( (9 * z) - (x+y+z) > 0))        then
        TextWindow.Write(x)
        TextWindow.Write(y)
        TextWindow.WriteLine( z)
      EndIf
    EndFor
  EndFor
EndFor
  TextWindow.WriteLine("fini")

tu peux aussi faire la triple boucle pour trouver le min et le MAX et voir si tu as une solution

[pitchx13]

Merci pascal je vais tester ça